8-ma`ruza: Giperbolik tipdagi tenglamalarga qo’yilgan Koshi masalasining umumlashgan yechimlari haqida tushuncha. Aralash masalalar. Yechimning yagonaligi va boshlang’ich shartlarga uzluksiz bog’likligi

8-ma`ruza: Giperbolik tipdagi tenglamalarga qo’yilgan Koshi masalasining umumlashgan yechimlari haqida tushuncha. Aralash masalalar. Yechimning yagonaligi va boshlang’ich shartlarga uzluksiz bog’likligi.

Matematik fizikaning juda ko‘p masalalarida yechimning mavjudligi, boshlang‘ich va chegaraviy masalalardagi berilgan funksiyalarning anchagina silliqligini talab qilish natijasida isbot qilinadi.

Oldingi ma’ruzalarda Koshi masalasini tekshirganimizda boshlang‘ich shartlar yetarli silliq bo‘lganda masalaning korrekt qo‘yilganligini ko‘rdik. Ammo fizik masalalarda hamma vaqt ham boshlang‘ich shartlardagi funksiyalar yetarli silliq bo‘lavermaydi. Agar boshlang‘ich shartlar uzluksiz va keraklicha marta differensiallanuvchi bo‘lmasa, mos boshlang‘ich va chefgaraviy masalaning differensiallanuvchi yechimi mavjud bo‘lmasligi ham mumkin.
Bunday hollarda differensial tenglamalarning “umumlashgan yechimi” tushunchasini kiritish muhim ahamiyatga egadir.
Xususiy hosilalai differensila tenglamalar umumlashgan yechimlarining nazariyasi 1930 yillardaakdemik S.L.Sobolev tomonidan yaratilgan. Bunday yechimlar yoki regulayar yechimlar ketma-ketligining limiti sifatida, yokiintegral ayniyatlar yordami bilan aniqlanadi. Misol tariqasida
(1)
tenglama uchun

Koshi masalasini tekshiramiz.
Agar funksiya kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa, bu masalaning sohadagi yechimi
(2)
formula bilan aniqlanadi.
Endi funksiya kesmada uzluksiz, lekin differensiallanuvchi bo‘lmasin. Ma’lumki, bunday funksiyani segmentda uzluksiz hosilalarga ega bo‘lgan funksiyalar tekis yaqinlashuvchi ketma-ketligining limiti sifatida tasvirlash mumkin.
Bu holda (1) tenglama mos yechimlarining ketma-ketligi D sohada (2) funksiyaga tekis yaqinlashadi. Bu narsa esa (2) funksiyaning (1) tenglamaning umumlashgan ma’nodagi yechimi deb hisoblashga asos bo‘ladi.
Ta’rif. Agar biror differensial tenglamaning D sohada regulyar yechimlarining cheksiz ketma-ketligi mavjud bo‘lib, bu ketma-ketlik funksiyaga tekis yaqinlashsa, ya’ni
, ,
u holda funksiya D sohada berilgan tenglamaning umumlashgan yechimi deyiladi.
Ba’zan regulyar yechimlarning ketma-ketligi ga o‘rtacha yaqinlashganda ham, ya’ni
,
ni tekshirilayotgan differensial tenglamaning umumlashgan yechimi deyiladi.
To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimini beruvchi formulalar bilan aniqlangan funksiya, masalan Dalamber formulasi bilan aniqlangan funksiya yoki Gursa masalasining yechimini beruvchi formula bilan ifodalangan funksiya berilgan va funksiyalar uzluksiz bo‘lgan holda mos ravishda Koshi va Gursa masalasining umumlashgan yechimi deyiladi.