8-maruza: Regressiya koeffitsiyentlari – empirik modellar parametrlarini aniqlash

8-maruza: Regressiya koeffitsiyentlari – empirik modellar parametrlarini aniqlash (regressiya tahlilining birinchi bosqichini bajarish)

Ushbu holda regressiya tahlilining uslubiyatidan kelib chiqib, eng kichik kvadratlar (EKK) usuli bilan tajriba ma’lumotlarini silliqlantirish masalasi amalga oshiriladi.

Rasmda bir o‘zgaruvchi li regressiyalar uchun EKK usulini grafik ifodalanishi keltirilgan (* - tajriba ma’lumotlari, - regressiya tenglamasi bo‘yicha hisoblangan ma’lumotlar):

Bunda tajriba quyidagi jadvaldan foydalanib amalga oshiriladi:

Bir o‘zgaruvchili funksiya turini koordinata o‘qlari ni quyida ko‘rsatilgan o‘zgartirish yo‘li (strukturaviy identifikatsiya masalasini yechish) bilan tanlanishi mumkin.

Natijada almashtirilgan funksiya y nafaqat regressiya koeffit­siyentlari bo‘yicha, balki almashtirilgan o‘zgaruvchi x uchun ham chiziqli bo‘lib qoladi.









Bir o‘zgaruvchili funksiyani chiziqli ko‘rinishga
almashtirish

Tenglama	To‘g‘ri chiziq koordinatalari		To‘g‘ri chiziq tenglamasi	Izoh
	x	y o‘qi
	x			Asimptotalar:
		y		Asimptotalar:
				Asimptotalar:
yoki
yoki
	x	bu yerda, - tajribaviy egrilikdagi istalgan nuqta		Asimptotalar: masofasiga siljigan o‘sha egri chiziq
	log x	Log y		Agar bo‘lsa, egri chiziq parabola shakliga ega va koordinatalar boshidan va nuqta orqali o‘tadi. Agar bo‘lsa, egri chiziq asimptota sifatidagi koordinata o‘qlari bilan giperbola hisoblanadi va nuqta orqali o‘tadi.
	log x			Avval , formula bo‘yicha approksimatsi­yalanadi Bu yerda , esa - tajribaviy nuqtalar
	log x			Dastlabki tenglama logarifmlangandan so‘ng, 4a punktdagidek amalga oshiriladi
	x	Log y		Egri chiziq nuqtadan o‘tadi

EKKU mezoni quyidagi ko‘rinishga ega:


(6.23)

bu yerda va elementlar vektori ning bitta qiymati bilan hisoblanadi,

n – sinovlarning umumiy soni yoki tanlanma hajmi.
Tenglama ga muvofiq va F mezoni ham parametrlarning ko‘p o‘zgaruvchili funksiyasi hisoblanadi:


(6.24)


modelning koeffitsiyentlari (parametrlari) ni aniqlash (to‘g‘rilash) uchun F mezon eng kichik bo‘lishi lozim, ya’ni rasmdagi vertikal kesishmalar kvadratlarining yig‘indisi eng kichik bo‘ladi:

Shuning uchun ham modellar ning koeffitsiyentlarini aniqlash masalasi (6.23) va (6.24) mezonlarning minimumini aniqlash algoritmlardan birini ishlab chiqish orqali amalga oshiriladi:

(6.25)
- parametrlarning yo‘l qo‘yiladigan sohasi – birinchi tur chegarasi.
Parametrik identifikatsiyalash masalasi nochiziqli modellar uchun aynan shunday yechiladi.
Albatta, ushbu holatda ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining zaruriylik shartidan ham foydalanish mumkin:


(6.26)

Umumiy hollarda tizimning qidirilayotgan koeffitsiyentlarini aniqlash uchun nochiziqli tenglama (6.26) koeffit­siyentlarga nisbatan yechilgan bo‘lishi kerak.

Biroq amaliyot shuni ko‘rsatadiki, nochiziqli tenglamalar tizimini yechish optimallashtirish masalalari (6.25) ni to‘g‘ri yechish aslo oson emas.
Parametrlari (kirish o‘zgaruvchilarining ixtiyoriy soni) bo‘yicha chiziqli modellar uchun regressiyaning tanlanmali (empirik) koef­fitsi­yentlarini aniqlash:

Ushbu holda tadqiqot tajribalarini o‘tkazish jadvali quyidagi ko‘rinishga ega:



Chiziqli yoki parametrlari bo‘yicha chiziqlantirilgan modellar uchun (6.14) ifodani EKKU mezoni (6.23) ga qo‘yish zarur:
(6.27)
va ko‘p o‘zgaruvchili funksiya (6.26) ekstremumining zaruriy shartidan fodalanib, olingan chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (CHATT) ni yechish kerak:
(6.28)

Tenglamalar tizimi (6.28) dagi a’zolarni guruhlab, CHATT ni quyidagi ko‘rinishda yozilsa:

(6.29)

va agar ko‘rib chiqilayotgan axborot matritsasi ga kiritilsa,

(6.30)
unda u kvadrat, simmetrik bo‘lib qoladi va uning element­larining qiymatlari faqat kirish o‘zgaruvchilari hamda funksiyaning aniq turiga bog‘liq bo‘ladi.
Matritsa ko‘rinishidagi axborot matritsasi ni kirish o‘zgaruvchilarining boslang‘ich matritsasi va shakli o‘zgartirilgan ko‘rinishda keltirish mumkin:


(6.31)

Kirish o‘zgaruvchilariga bog‘liq matritsa quyidagi ko‘rinishga ega:

(6.32)

CHATT (6.29) ning o‘ng qismiga binoan yozish mumkin:

(6.33)

yoki matritsa ko‘rinishida:

(6.34)
Natijada empirik modellarning koeffitsiyentlarini aniqlash uchun yechiladigan CHATT (6.29) quyidagicha keltirilishi mumkin:
(6.35)

yoki matritsa ko‘rinishida:

(6.36)

Agar koeffitsiyentlarni aniqlashda teskari matritsalar usulidan foydalanilsa, unda quyidagilar olinadi:

(6.37)

va shuningdek, ko‘paytma birlik matritsa ga teng bo‘ladi, ya’ni

(6.38)
Unda


(6.39)
Yoki

(6.40)

Chiziqli regressiya koeffitsiyentlari (empirik modellarning parametrlari) ni aniqlash uchun matritsali formula (6.40) ifodaga (6.31) va (6.32) matritsaviy tengliklarni qo‘ygandan so‘ng olinadi:

(6.41)

Shunday qilib, chiziqli yoki chiziqlantirilgan regressiya modellarining koeffitsiyentlarini aniqlash uchun quyidagi amallar ketma-ketligini bajarish zarur:

• 
  kuzatish vektorini shakllantirish va uning komponentlarini hisoblash (faqat chiziqlantirilgan modellar uchun);
  
• 
  kirish o‘zgaruvchilariga bog‘liq bo‘lgan matritsa kompo­nentlarni shakllantirish va hisoblash;
  
• 
  matritsani transponirlash;
  
• 
  transponirlangan matritsa ni boshlang‘ich matritsa ga ko‘paytirish;
  
• 
  axborot matritsa – ga murojaatni amalga oshirish;
  
• 
  olingan teskari matritsani matritsaga ko‘paytirish;
  

olingan natijani kuzatish vektori ga ko‘paytirish va (33) regressiyaning tanlanmaviy koeffitsiyentlarini olish.