Qator yaqinlashuvining zaruriy shartidan foydalanib va teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash
Download 1.26 Mb. Pdf ko'rish
|
1 2
Bog'liqmatem 1
|
QATOR YAQINLASHUVINING ZARURIY SHARTIDAN FOYDALANIB VA TEYLOR FORMULASI YORDAMIDA LIMITLARNI HISOBLASH Reja: 1 Sonli qator tushunchasi, geometric qator, yaqinlashuvchi qatorning sodda xossalari va uning qoldig’i. 2 Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti, garmonik qator va Koshi kriteriyasi. 3 Teylor formulasi. Sonli qator tushunchasi, yaqinlashuvchi qator va uning yigʻindisi Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari Qatorning qoldig’i Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti. Garmonik qator Koshi teoremasi Teylor formulasi Ingliz matematigi Bruk Teylor matematika faniga o’zining juda ko’p ilmiy ishlari bilan katta xissa qo’shgan olimlardan biridir. Uning matematika tarixida buyuk kashfiyotlaridan biri, o’zining 29 yoshida, ya’ni 1715 – yilda yaratgan nazariyasi bilan matematika tarixida o’chmas iz qoldirdi. Bu kashfiyot nimadan iborat? Bizga funksiya berilgan bo’lsin. Mana shu funksiyani shunday ko’rinishidagi funksiya bilan yaqinlashtirish kerakki, uning uchun bo’lsin. Agar qator hadlarini yetarlicha katta olsak, u shunchalik funksiyaga yaqinlashadi. B. Teylorning bu kashfiyoti “Methodus incrementorumdirecta et inversa” deb nomlanib, lotin tilida 1715 – yili yozildi. I. Nyuton va G. Leybnits Teylor zamondoshlari bo’lib, ular differensial va integral hisob asoschilari hisoblaydi. Teylor mana shu differensial va integral hisob asocial o’zining kashfiyotini amalga oshirdi. Keyinchalik Teylor usuli bilan ko'p matematik olimlar: Lagranj, Koshi, Shlemilha, Rosh, Peano va boshqalar ilmiy izlanishlar olib bordilar. Mana shundan so'ngra usul Teylor qatori darajasiga yetdi. Hozirgi vaqtda bu qator oliy matematikaning asosini tashkil qiluvchi tushunchalardan biri bo'lib hisoblanadi. Teylor qatori yordamida har qanday funksiyani tabiatini o'rganishda juda katta yordam beradi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x 0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi. Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x 0 nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini ya’ni ko‘rinishda yozish mumkin. Boshqacha aytganda x 0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali ko‘phad mavjud bo‘lib, da bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad shartlarni ham qanoatlantiradi. Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada hosilalarga ega bo‘lsa, u holda shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan ko‘phad mavjudmi? Bunday ko‘phadni ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan koeffitsientlarni topishda shartlardan foydalanamiz. Avval P n (x) ko‘phadning hosilalarini topamiz: Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x 0 ni qo‘yib barcha koeffitsientlar qiymatlarini topamiz: Bulardan ho sil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi. Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini orqali belgilaymiz: . (4) shartlardan bo‘lishi kelib chiqadi. Endi ya’ni ekanligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda , demak da o‘rinli ekan. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: Download 1.26 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|
1 2