8-мавзу. Тўлиқлик ҳақидаги Геодел теоремаси. (2-соат) Режа

Асосларни ажратиш қонуни:
. (31)
Исбот. формулалар мажмуасидан келиб чиқадиган келтириб чиқаришни қараймиз. Бунда формулалар мажмуасидан формуланинг келиб чиқиши кўриниб турибди. У ҳолда умумлашган дедукция теоремасига асосан (31) формула исботланувчи эканлигига ишонч ҳосил қиламиз.
Асосларни ажратиш қонунидан исботланувчи формулалар учун асосларни ажратиш қоидаси:

ҳосил бўлади.
Ҳақиқатан ҳам, агар
. (32)
бўлса, у вақтда (31) ва (32) формулалардан хулоса қоидасига асосан эканлиги келиб чиқади.
.
Исбот. I₁ ва IV₁ аксиомаларда қуйидаги ўрнига қў-йишларни
ва .
бажариш натижасида
(33)
(34)
исботланувчи формулаларни ҳосил қиламиз.
(33) ва (34) формулалардан силлогизм қоидасига асосан

формула келиб чиқади.
Асосларни бирлаштириш қонунидан фойдаланиб,

формулани ҳосил қиламиз.
Икки карралик инкорни тушириш қоидасидан фойдаланиб,

формулага эга бўламиз.
Бу ердан асосларни ажратиш қонунини қўллаб, исботланиши керак бўлган (31) формулани келтириб чиқарамиз.
.
Исбот.III₃ аксиомада z нинг ўрнига ни қўямиз:
. (35)
II₁ ва II₂ аксиомалардан
, (36)
(37)
формулалар келиб чиқади.
(36) ва (37) формулаларга контрпозиция қоидасини қўллаб, ушбу формулаларни ҳосил қиламиз:
, (38)
. (39)
Бу формулаларга икки каррали инкорни тушириш қоидасини қўллаб, қуйидаги формулаларни келтириб чиқарамиз:
, (40)
. (41)
Энди (35), (40) ва (41) формулаларга мураккаб хулоса қоидасини қўллаб,
(42)
формулага эга бўламиз.
Ниҳоят, (42) формулага аввал контрпозиция қоидасини ва сўнгра икки мартали инкорни тушириш қоидасини қўллаб,

исботланиши лозим бўлган формулани ҳосил қиламиз.