8-mavzu. Vektorlarning vektor va aralash ko‘paytmalari reja

Koordinatalari bilan bеrilgan
vеktorlarning aralash ko‘paytmasi
Uchta , va vektor berilgan bo‘lsin.
U holda
,


yoki
. (8.6)
8.6-misol. , , vektorlar berilgan. ko‘paytmani hisoblang.
Yechish. ni (8.5) formula bilan topamiz:
.
Aralash ko‘paytmaning ayrim tatbiqlari
1. Fazodagi vektorlarning o‘zaro joylashishi.
vеktorlarning fazoda o‘zaro joylashishini aniqlash bo‘lishiga asoslanadi. Bunda agar bo‘lsa, u holda vektorlar o‘ng uchlik tashkil qiladi, agar bo‘lsa, u holda vektorlar chap uchlik tashkil
qiladi.
2. Uchta vektorning komplanarlik sharti.
Aralash ko‘paytmaning 4- ossasiga ko‘ra nolga teng bo‘lmagan
vеktorlar komplanar bo‘lsa, u holda yoki
. (8.7)
3. Parallelepiped va piramidaning hajmlari.
Aralash ko‘paytmaning geometrik ma’nosiga ko‘ra vеktorlarga
qurilgan parallelopiped hajmini bilan va piramida hajmini
bilan topish mumkin.
Shunday qilib,
(8.8)
8.7-misol. Uchlari , , , nuqtalarda bo‘lgan piramidaning uchidan tushirilgan balandligi uzunligini toping.
Yechish. Avval piramida qirralarini ifodalovchi vektorlarni topamiz:
, , .
Piramida hajmini hisoblaymiz:

yoq yuzini hisoblaymiz:




Piramida uchun .
Bundan
(u.b.).


8.8-misol. Fazoda nuqtalar koordinatalari bilan berilgan.
.
Quyidagilarni toping:
1) vektor proektsiyalari va yunalishini;
2) ko‘paytmalarni;
3) uchburchak yuzasini;
4) piramida hajmini.
Yechish. 1) vektor proektsiyasini (2.1.18) formula bilan topamiz:

Bundan (2.1.12) formulaga ko‘ra
.
vektor yunalishini (2.1.13) formulalar bilan topamiz

Topilgan yechimlarni Maple paketida bajaramiz [15]: