8 Vaqtga bog‘liq bo‘lmagan g‘alayonlanish nazariyasi

8.1.Vaqtga bog‘liq bo‘lmagan g‘alayonlanish nazariyasi

Avvalgi boblarda ko‘rib chiqilgan Shredinger tenglamasi o‘zgaruvchi koeffitsiyentlarga ega bo‘lgan xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama sifatida namoyon bo‘lgan edi. Uning aniq yechimlarini faqat bir necha sodda masalalar uchun olish imkoniyati mavjud bo‘ldi va bu masalalarning bir qanchasini oldingi boblarda ko‘rib chiqqan edik.

Lekin juda ko‘p hollarda, ayniqsa atom va yadroviy sistemalarni batafsil tekshirganda Gamilton operatorlarining xususiy funksiyalarini va xususiy qiymatlarini hisoblash uchun taqribiy usullardan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Keyingi vaqtlarda elektron hisoblash mashinalarining paydo bo‘lishi munosabati bilan kvant mexanikasini bir qator masalalarini yechishda raqamli hisoblash usullarining qo‘llanilishi muhim ahamiyat kasb eta boshladi. Ushbu bobda real fizikaviy sistema xususiy qiymatlari va xususiy funksiyalarini aniqlashda analitik hisoblashlarga asoslangan taqribiy usullardan foydalaniladi. Tekshirilayotgan real sistemaning holati aniq yechimga ega bo'lgan ideallashtirilgan holatdan katta farq qilmaydigan qilib tanlab olinadi.

Bu hollarda taqribiy usullar yordamida asosiy yechimga kiritiladigan tuzatmalarni hisoblab chiqish imkoniyati yaratiladi va bu tuzatmalar aniq yechimga qo‘shilgan holda berilgan masalaning to‘liq yechimlarini beradi. Yuqorida qayd etilgan tuzatmalarni aniqlashning umumiy usuli kvant mexanikasida g‘alayonlanish nazariyasi deb yuritiladi.

Ushbu bobda diskret energiya spektriga ega bo'lgan statsionar masalalar uchun g'alayonlanish nazariyasi ko‘rib chiqiladi. Faraz qilaylik, kvant sistemaning Gamilton operatori ikki qismdan iborat bo‘lsin:

(8.1)

bunda operator aniq yechimga ega bo‘lgan ideallashtirilgan sistemaning Gamilton operatorini ifodalaydi, operator esa ga nisbatan kichik bo‘lgan qandaydir qo‘shimcha operator bo‘lib uni g‘alayonlanish operatori deyiladi. Ideallashtirilgan sistemada hisobga olinmagan Gamilton operatorining bu qismi tashqi maydonning potensial energiyasi sifatida ham ifodalanishi mumkin.

G‘alayonlanish nazariyasining asosiy maqsadi gamiltonian bilan ifodalangan g‘alayon ta’sir qilmagan sistema uchun ma’lum bo‘lgan to‘lqin funksiyasi va energiya qiymatlari orqali g‘alayonlangan sistemani statsionar holatlarining xususiy funksiya va energiyalarini aniqlab berish hisoblanadi. Boshqacha aytganda g‘alayonlanish nazariyasi usullaridan foydalanish uchun ikkita shartni qabul qilish kerak:

1. 
   G‘alayonlangan sistema uchun Shredinger tenglamasining
   

(8.2)

yechimlari ma’lum bo‘lsin va aynish holatlari mavjud bo'lmasin.

2. 
   operatorni quyidagi kо‘rinishda
   

(8.3)

ifodalash mumkin bo‘lsin, bunda kichik о‘lchamsiz parametr.

Demak, (8.1) operatorning xususiy qiymatlari va xususiy funksiyalarini aniqlash masalasi

(8.4)

tenglamaning yechimini topish masalasiga keltiriladi. (8.4) dagi izlanayotgan funksiyani ma’lum bo‘lgan funksiyalar bo‘yicha qatorga yoyiladi:

. (8.5)
Bu holda barcha c_n laming to‘plami energetik, ya’ni E- tasavvuridagi 𝜓 funksiyani beradi. (8.5) qator (8.4) tenglamaga qo‘yiladi va hosil bo‘lgan ifodaning ikkala tomonini ga ko'paytirib chiqiladi, so‘ngra x bo‘yicha integrallanadi. U holda (8.4) tenglamaning chap tomoni







ko‘rinishda bo'ladi, bunda

(8.6)

bo‘lib, energetik tasavvurdagi g'alayonlanish energiyasining matrik elementini ifodalaydi. Endi (8.4) ning o‘ng tomoni hisoblab chiqiladi:



Yuqoridagilami hisobga olib, (8.4) tenglamani quyidagicha o‘zgartirish mumkin:
(8.7)

Hosil bo’lgan (8.7) tenglamadan to'lqin funksiyasiga va energiya qiymatiga tuzatmalarni aniqlash maqsadida c_m xususiy funksiyalarni va E xususiy qiymatlarini λ parametr darajalari bo‘yicha qatorga yoyilmasini olish kerak: