9 -ma’ruza Ikki karrali integral. Ikki karrali integral va uning xossalari. Ikki karrali integralni hisoblash. Reja

Ikki karrali integralning ta`rifi.
Mazkur kursning yuqoridagi boblarida funksiyaning aniq integrali (bir o‘zgaruvchili funksiyaning integrali) tushunchasi bilan tanishdik, integralning mavjudligi, xossalari, hisoblash va integralning ba’zi-bir tatbiqlarini o‘rgandik. Jumladan, aniq integralning tatbiqlarida tekis shakl, uning yuzi, shaklning yuzini hisoblash bayon etildi. Xususan, tekislikda ushbu

shakl-to‘g‘ri to‘rtburchak shakl yuzaga ega bo‘lib, uning yuzi

bo‘ladi.
Endi ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan funksiyaning integrali -- karrali integralni qaraymiz. Karrali integrallarda ham, aniq integrallardagidek, integral tushunchasi, integralning mavjudligi, uning xossalari, karrali integrallarni hisoblash, integralning tatbiqlari o‘rganiladi. Bunda aniq integral haqidagi ma'lumotlardan foydalana boriladi. SHuningdek, ikki karrali integrallar haqidagi ma'lumotlar (tushunchalar, tasdiqlar xossalar va h.k.) bayonida yuritiladigan fikr va mulohazalar aniq integraldagiga o‘xshashligini e'tiborga olib, ko‘p hollarda, ularni karrali integrallarga nisbatan isbotsiz keltirish bilan kifoyalanamiz.
Ikki karrali integral tushunchasi
Aytaylik,

funksiya tekislikdagi to‘g‘ri to‘rtburchak soha

da berilgan va chegaralangan bo‘lsin. Bu  sohani – chizmada ko‘rsatilganidek sohalarga (to‘g‘ri to‘rtburchaklarga) ajratamiz:
Ravshanki, bu sohalar yuzalarga ega bo‘ladi. Ularni

Deylik, bunda bo‘ladi.
Endi har bir sohalardan ixtiyoriy ravishda bittadan

nuqtalarni olamiz. Berilgan funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari

ni mos ravishda larga ko‘paytirib, ushbu

(1)
yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi funksiyaning integral yig‘indisi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan sohalar yordamida  soha bo‘laklarga ajraladi. Shuning uchun  lar to‘plami bo‘laklash deyiladi va u bilan belgilanadi:

to‘g‘ri to‘rtburchaklar diagonallarining uzunliklarining kattasi bo‘laklashning diagonali deyiladi va uni kabi belgilanadi. Endi sohaning shunday
(2)
ketma-ketliklarini qaraymizki, ularning mos diagonaldagidan tashkil topgan

ketma-ketlik nolga intilsin. Bu jarayonda sohaning bo‘lakchalarini maydalash sodir bo‘ladi. (2) bo‘laklashlarga nisbatan funksiyaning integral yig‘indlarini tuzamiz. Ular ushbu

k etma-ketlikni hosil qiladi va bu ketma-ketlikning har bir hadi nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi.
1-ta’rif. Agar har qanday (2) bo‘laklashlarga nisbatan tuzilgan

integral yig‘indilar ketma-ketligi ( nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda) songa intilsa, funksiya sohada integrallanuvchi, son esa funksiyaning soha bo‘yicha ikki o’lchovli (karrali) integrali deyiladi. Uni
yoki
kabi belgilanadi. Demak,

Masalan,

funksiya ixtiyoriy to‘g‘ri to‘rtburchak sohada integrallanuvchi va

bo‘ladi, bunda to‘g‘ri to‘rtburchak sohaning yuzi.
Haqiqatan ham, bu funksiyaning integral yig‘indisi

bo‘lib,

bo‘ladi.