9 -ma’ruza Ikki karrali integral. Ikki karrali integral va uning xossalari. Ikki karrali integralni hisoblash. Reja

Ikki karrali integralning mavjudligi va integralanadigan funksiyalar
Faraz qilaylik, funksiya to‘g‘ri to‘rtburchak sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsin. Bu sohani

bo‘laklashini olaylik. Qaralayotgan funksiya har bir da chegaralangan bo‘lib, u shu sohada aniq yuqori

hamda aniq quyi

chegaralarga ega bo‘ladi. Odatda,

ayirma funksiyaning sohachadagi tebranishi deyiladi.
Aytaylik,  sohaning ushbu

bo‘laklashlarning ularga mos bo‘lgan diagonallari ketma-ketligi

nolga intilsin. Agar har bir bunday bo‘laklashlar ketma-ketligining har bir hadiga nisbatan

yig‘indi tuzilsa, unda quyidagi

sonlar ketma-ketligi hosil bo‘ladi.
Q uyidagi teorema funksiyaning integrallanuvchi bo‘lishining etarli shartini ifodalaydi.
1-teorema. Agar
(3)
bo‘lsa, u holda funksiya  sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
2-teorema. Agar funksiya to‘g‘ri to‘rtburchak sohada uzluksiz bo‘lsa, u shu sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Masalan, funksiya kvadrat sohada uzluksiz. Binobarin bu funksiya 2-teoremaga ko‘ra integrallanuvchi.


3-teorema. Agar  funksiya sohada chegaralangan bo‘lib, 1) uning uziladigan barcha nuqta to‘plami da yotuvchi biror yoki  uzluksiz funksiya grafigidan iborat, 2) bu grafik nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarida uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya  da integrallanuvchi bo‘ladi.
Masalan,

to‘g‘ri to‘rtburchak sohada berilgan ushbu

funksiya sohada integrallanuvchi bo‘ladi, chunki bu funksiya sohada yotuvchi to‘g‘ri chiziq kesmasida uzilishga ega bo‘lib, qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz.

1-shakl.