9 -ma’ruza Ikki karrali integral. Ikki karrali integral va uning xossalari. Ikki karrali integralni hisoblash. Reja

Ikki karrali integralning xossalari.
Ikki karrali integrallar ham aniq integralning xossalari singari xossalarga ega. Ularni isbotsiz keltiramiz.
Aytaylik, va funksiyalari to‘g‘ri to‘rtburchak  sohada
i ntegrallanuvchi bo‘lsin. U holda
1) funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib,

bo‘ladi.
2) funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib,

bo‘ladi.
3 ) funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib,

bo‘ladi.
4) agar ixtiyoriy da bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
5 ) agar to‘g‘ri to‘rtburchak  soha ikkita to‘g‘ri to‘rtburchak va sohalarga ajralgan bo‘lsa,

bo‘ladi.
6) agar funksiya sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki,

bo‘ladi, bunda miqdor sohaning yuzi.
Odatda, 6)-xossa o‘rta qiymat haqidagi teorema deb yuritiladi.
Ikki karrali integrallarni hisoblash
Aytaylik, funksiya to‘g‘ri to‘rtburchak

sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsin. Yuqorida keltirilgan teoremaga ko‘ra

ikki karrali integral mavjud. Bu integral quyidagicha mulohazalar asosida hisoblanadi:
a ) funksiyaning  argumentini tayinlab (o‘zgarmas deb hisoblab), uni bitta o‘zgaruvchining da aniqlangan funksiyasi deb qaraladi. (Bu funksiya da uzluksiz bo‘ladi)
b) ni _{ } o‘zgaruvchini funksiyasi sifatida qaralganda oraliq bo‘yicha integrallanuvchi, ya'ni

mavjud. Ravshanki, bu integral tayinlangan _{ } ga bog‘liq, ya'ni _{ } ning funksiyasi bo‘ladi:
(1)
v) funksiya oraliqda uzluksiz bo‘ladi. Uni oraliq bo‘yicha integrallaymiz:

Keyingi integral qaralayotgan ikki karrali integralga teng bo‘ladi:
(2)
Xuddi yuqoridagidek
(3)
bo‘ladi.
(2) va (3) integrallar, tuzilishiga ko‘ra, ikki argumentli funksiyadan avval bir argumentli bo‘yicha (bunda ikkinchi argumentini o‘zgarmas hisoblanadi), so‘ng ikkinchi argumenti bo‘yicha olingan integrallardir. Bunday integrallarni takroriy integrallar deyiladi.
Shunday qilib,

sohada uzluksiz bo‘lgan funksiyaning ikki karrali integrali

ni hisoblash takroriy integrallarni hisoblashga keltirilar ekan. Takroriy integralni hisoblash esa ikkita oddiy-bir argumentli funksiyaning integralini ketma-ket hisoblashdan iborat.
Misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda soha quyidagi

to‘g‘ri to‘rtburchak sohadan iborat.
Berilgan ikki karrali integralni (2) formulaga ko‘ra hisoblaymiz:


Qaralayotgan ikki karrali integralni (3) formula bo‘yicha ham hisoblash mumkin:

.
Foydalangan adabiyotlar:

1. 
   Claudio Canuto · Anita Tabacco.Mathematical Analysis II.
   
2. 
   Соатов Ё.У.Олий математика 1-2 қисм 1995й.
   
3. 
   G‘aniev I. G‘. va boshq. Oliy matematika. Toshkent, 2013