9. 4-§. Жисмнинг бурчак тезланиши. Текис ўзгарувчан айланма ҳаракат

9.2-масала. Двигатель вали бурчак тезланиш билан текис тезланувчан айланма ҳаракат қилиб, t₂ – t₁ = 10 с вақт оралиғида 100 марта айланади. Валнинг t₁ ва t₂ пайтдаги бурчак тезликлари аниқлансин. Бошланғич пайтда вал тинч ҳолатда бўлган.

Ечиш. Вал бошланғич пайтда тинч ҳолатда бўлиб, текис тезланувчан айланма ҳаракат қилгани учун (9.11) ва (9.10) формулалар қуйидагича ёзилади:

Масаланинг шартида t₁ ва t₂ пайтлар номаълум. Агар t₁, t₂ пайтларга мос келувчи айланиш бурчакларини мос равишда ва билан белгиласак, (1) га кўра қуйидагилар ҳосил бўлади:

t₂ – t₁ вақт оралиғида вал 100 марта айлангани учун шу вақт оралиғидаги бурчак орттирмаси қуйидагича аниқланади:

ёки (3) ни эътиборга олсак, ҳосил бўлади.

Масаланинг шартига кўра с ёки эканлигини назарда тутсак.

ёки 20t₁ = 300 бўлади. Бундан t₁ = 15 с ҳамда t₂ = t₁ + 10 = 25 с эканлигини аниқлаймиз.

У ҳолда (2) дан ёки (9.7) га кўра

бўлади.
9.5-§. Қўзғалмас ўқ атрофида айланувчи жсм нуқтасининг чизиқли тезлиги

Қўзғалмас Оz ўқ атрофида бурчак тезлик билан айланувчи қаттиқ жисм ихтиёрий М нуқтасининг тезлигини аниқлаймиз. М нуқтадан айланиш ўқигача бўлган масофани О₁М = R билан белгилайлик (9.6-расм, а). Агар dt вақт оралиғида жисм бурчакка айланса, М нуқта айланиш ўқига перпендикуляр текисликда айлана бўйлаб ҳаракатланиб бўлган ёй координатасини ўтади ҳамда (8.28) га асосан М нуқта тезлигининг алгебраик қиймати қуйидагича аниқланади:

Тезликнинг модули эса

ёки (9.4) га кўра

формуладан аниқланади. (9.13) воситасида аниқланадиган v тезлик қўзғалмас ўқ атрофида айланувчи жисм нуқтасининг чизиқли тезлиги деб аталади.

Демак, қўзғалмас ўқ атрофида айланувчи жисм нуқтасининг ҳар ондаги чизиқли тезлиги миқдор жиҳатдан мазкур нуқтадан айланиш ўқигача бўлган масофа билан жисмнинг шу ондаги бурчак тезлиги кўпайтмасига тенг.

Жисм барча нуқталарининг бурчак тезликлари ҳар онда ўзаро тенг бўлади. Шу сабабли қўзғалмас ўқ атрофида айланувчи жисм нуқталарининг чйзиқли тезликлари мазкур нуқталардан айланиш ўқигача бўлган масофаларга тўғри пропорционал бўлади (9.6-расм, б).

Нуқтанинг чизиқли тезлиғи нуқта траекториясини ифодаловчи айланага ҳаракат йўналиши бўйича ўтказилган уринма бўйлаб йўналади (9.6-расм).

Координата бошини айланиш ўқидаги О нуқтада олиб, z ўқни айланиш ўқи бўйлаб йўналтирамиз.

М нуқтанинг О га нисбатан радиус-векторини билан белгилаймиз ва бурчак тезлик векторини ўтказамиз (9.6-расм, а).

вектор кўпайтмани М нуқтанинг тезлик вектори билан солиштирамиз. вектори, ва ётган текисликка перпендикуляр равишда жисмнинг айланиш йўналиши бўйича йўналади, яъни вектори билан тезликнинг кур вектор кўпайтманинг модули йўналиши бир хил бўлади. Мазкур вектор кўпайтманинг модули

яъни тезликнинг модулига тенг бўлади. Шундай қилиб,

вектор тенглик исботланди.

Бинобарин, қўзғалмас ўқ атрофида айланувчи жисм нуқтасининг чизщли тезлик вектори жисмнинг бурчак тезлик вектори билан мазкур нуқтанинг айланиш ўқидаги ихтиёрий О нуқтага нисбатан радиус-векторининг вектор кўпайтмасига тенг.

М нуқтанинг координаталаринн х, у, z билан белгиласак, вектор купайтма учун

муносабатни, тезликнинг Декарт координата ўқларидаги проекциялари учун эса

ифодаларни оламиз.

(9.15) га асосан тезликнинг модулини

формула ёрдамида аниқлаш мумкин.