9-ma`ruza: suyuqlikning tekis va notekis xarakatlari. Reja

1

9-ma`ruza: SUYUQLIKNING TEKIS VA NOTEKIS XARAKATLARI.

Reja:

9.1. Qovushqoq suyuqliklarda ichki kuchlar. Nave – Stoks tenglamasi.

9.2. Elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasi.

9.3.Bernulli tenglamasining geometrik, energetik va fizik mazmunlari.

Tayanch  iboralar:  Real  suyuqliklar,  qovushqoq  suyuqliklar,  ichki  kuchlar,  Nave –  Stoks

tenglamasi,  elementar  oqimcha,  Bernulli  tenglamasi,  Bernulli  tenglamasining  geometrik,  energetik  va

fizik  mazmunlari,  gidrodinamik  bosim,  zo’riqish

kuchlari,  tenzor,  zo’riqish  tenzorining  urinma  va

normal  tashkil  etuvchilari,  Nyuton  gepotezasi,

tezlik balandligi.

      Adabiyotlar: 2,3,4,5,9,10.

9.1. Qovushqoq suyuqliklarda ichki kuchlar.

Nave – Stoks tenglamasi.

Real  suyuqliklarda  gidrodinamik    bosim

mavjud  bo’lib,  harakat  yo’q  bo’lgan  holda  u

gidrostatik 

bosimiga 

aylanadi. 

Gidrodinamik

bosimning  xossalari  gidrostatik  bosim  xossalariga

qaraganda  umumiyrokdir.  Gidrodinamik  bosim

suyuqlikdagi  ichki  kuchlarni  ifodalovchi  va

zo’riqish  kuchlari deb  ataluvchi  kuchlar  tarkibiga

kiradi.  Suyuqlik  ichida  joylashgan  biror  elementar

hajmni  ko’zlasak,  o’nga  tashqaridagi  suyuqlik

massasi  ma‘lum  bir  kuch  bilan  ta‘sir  qiladi.  Ana

shu  kuch zo’riqish  kuchi deyiladi.  Bu  kuchni

to’laroq tasavvur qilish uchun tomonlari dx, dy, dz

ga  teng  bo’lgan  tetraedr  ko’rinishdai  elementar

hajm 

ajratib 

olamiz 

(9.1-rasm). 

U 

holda

tetraedrning  qiya  sirtiga  tashqaridagi  suyuqlik  P

n

kuch bilan ta‘sir qiladi. Olingan elementar hajm harakat vaqtida o’z holatini saqlab qolishi uchun o’nga

teng  ta‘sir  etuvchisi  P

n

  kuchiga  teng  va  qarama-qarshi  yo’nalgan  quyidagi  uchta  kuch  ta‘sir  qiladi:

tetraedrning  yOz  tekislikda  yotgan  yuzasi  bo’yicha  Р

х

  kuchi,  хОz  tekislikda  yotgan  yuzasi  bo’yicha  Р

у

kuchi; хОу tekisligida yotgan yuzasi bo’yicha Р

z

 kuchi.

Bu kuchlarning har biri x, u, va z o’qlari bo’yicha proeksiyaga ega:

P

x

 (P

xx

, P

xy

, P

xz

)}

P

у

 (P

уx

, P

уy

, P

уz

)}

P

z

 (P

zx

, P

zy

, P

zz

)}

Shunday  qilib,  Р  kuchni  9  ta  kuch  bilan  almashtirish  mumkin  bo’ladi.  Bunday  xususiyatga  ega

bo’lgan kattaliklar tenzorlar deb ataladi va quyidagicha yoziladi:























zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

n

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

,

,

,

,

,

,

                               (9.1)

2

Bu kuchlardan 3 tasi Р

хх

,, Р

уу

,, Р

zz

tetraedr yon sirtlariga normal bo’yicha yo’nalgan bo’lib, ular

zo’riqish  tenzorining  normal  tashkil  etuvchilari  deyiladi.  Tenzorning  qolgan  6  ta  tashkil  etuvchisi

sirtlarga  urinma  bo’yicha  yo’nalgan  bo’lib, zo’riqish  tenzorining  urinma  tashkil  etuvchilari deyiladi.

Urinma tashkil etuvchilar quyidagi xossaga ega bo’ladi:

Р

ху

 = Р

ух

; Р

хz

 = Р

zх

; Р

уz

 = Р

zу

Shuning  uchun,  P  tenzori simmetrik  tenzor deb  ataladi.  Bu  xossaning  isboti  maxsus  kurslarda

keltirilgan  bo’lib,  biz  u  to’g’risida  to’xtalib  o’tirmaymiz.  Shuningdek,  tenzorning  komponentlarini

tushuntirishlarsiz, tezlik va qovushqoqlik koeffisienti orqali ifodasini keltiramiz.

,

2

x

u

P

P

x

xx













,

2

y

u

P

P

y

yy













,

2

z

u

P

P

z

zz













,



























y

u

x

u

P

P

x

y

yx

xy



      (9.2)

,



























x

u

z

u

P

P

z

x

zx

xz



,



























z

u

y

u

P

P

y

x

zy

yz



bu erda Р – gidrodinamik bosim.

Bu  ifoda umumlashgan Nyuton  gepotezasi deb  ataladi.  Bu  holda  avvalgi  mavzularda

aytganimizdek  harakat  tenglamasini  tuzish  mumkin  bo’ladi.  Tomonlari  dx,  dy,  dz  ga  teng  bo’lgan

parallelipiped ko’rinishdagi elementar hajm olsak (9.2-rasm) u holda Ох, Оу, Оz yo’nlishida og’irlik va

inersiya kuchlarini olganimizda, uchta kuch ta‘sir qiladi:

Ох бo’йича P

xx

, P

yx

, P

zx

Oy бo’йича P

xy

, P

yy

, P

zy

Oz бo’йича P

xz

, P

yz

, P

zz

Demak  parallelipipedning  (9.2-rasm)  Ох  o’qiga  tik  bo’lgan  yon  yoqlari  bo’yicha    ta‘sir  qiluvchi

kuchlarning teng ta‘sir etuvchisi quyidagiga teng:

.

z

р

y

р

х

р

zх

yх

хх

















Оу o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha

,

z

р

y

р

х

р

zy

yy

хy

















Оz o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha

z

р

y

р

х

р

zz

yz

хz

















Dalamber prinsipidan foydalanib harakat tenglamasini tuzamiz u quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

3



































z

p

y

p

x

p

X

dt

u

zx

yx

xx

x



1

,



































z

p

y

p

x

p

Y

dt

u

zy

yy

xy

y



1

                   (9.3)



































z

p

y

p

x

p

Z

dt

u

zz

yz

xz

z



1

.

Olingan tenglamaga (4.11), (4.12), (4.13) va (4.14) munosabatlarni kirisak, real suyuqliklarning

harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:





























































2

2

2

2

2

2

1

z

u

y

u

x

u

х

р

X

z

u

u

y

u

u

x

u

u

t

u

x

x

x

x

z

x

y

x

x

x





,

































































2

2

2

2

2

2

1

z

u

y

u

x

u

y

р

Y

z

u

u

y

u

x

u

u

t

u

y

y

y

y

z

y

y

y

x

x





,           (9.4)





























































2

2

2

2

2

2

1

z

u

y

u

x

u

z

р

Z

z

u

u

y

u

u

x

u

u

t

u

z

z

z

z

z

z

y

z

x

z





.

Bu hosil  bo’lgan tenglamalar sistemasi real suyuqliklar uchun Nave–Stoks tenglamasi deyiladi. U

uchta tenglamadan iborat bo’lib, noma‘lumlar soni to’rtta; U

x

, U

y

, U

z

, Р. Shuning uchun real suyuqliklar

harakatini tekshirishda bu sistemaga (4.8) tenglama qo’shib Еchiladi.

9.2. Elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasi.

Eyler  va  Nave-Stoks  tenglamalar  sistemalarini  Еchish  yo’li  bilan  suyuqlik  harakatlanayotgan

fazoning  har  bir  nuqtasidagi  tezlik  va  bosimni  topish  mumkin.  Lekin  bu  sistemalarni  Еchish  katta

qiyinchiliklar  bilan  amalga  oshiriladi,  ko’p  hollarda  esa  xatto  Еchish  mumkin  emas.  Shuning  uchun

o’rtacha tezlikni topish bilan cheklanishga to’g’ri  keladi. Buning uchun, odatda, Bernulli tenglamasidan

foydalaniladi. Bernulli tenglamasini ikki xil usul bilan topish mumkin.

Birinchi  usul  Eyler  tenglamasidan  foydalanish  yo’li  bilan  amalga  oshiriladi.  Buning  uchun  (4.7)

sistemaning  birinchi  tenglamasini  dx  ga,  ikkinchi  tenglamasini  dy  ga,  uchinchi  tenglamasini  dz  ga

ko’paytiramiz va hosil  bo’lgan uchta tenglamani qo’shamiz. Natijada quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:

)

(

1

|

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

Zdz

Ydy

Xdx

dz

dt

du

dy

dt

du

dx

dt

du

z

y

x































    (9.5)

(4.10) munosabatdan ko’rinib turibdiki,

;

dt

u

dx

x



;

dt

u

dy

y



;

dt

u

dz

z



Shu munosabatdan foydalanib tenglamaning chap tomonini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

4

)

(

2

1

2

2

2

z

y

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

u

u

u

d

du

u

du

u

du

u

dt

u

dt

du

dt

u

dt

du

dt

u

dt

du

















(9.6)

lekin

)

2

2

2

2

z

y

x

u

u

u

u







Bo’lgani uchun (9.5) tenglama chap tomonining ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

)

(

2

1

)

(

2

1

2

2

2

2

u

d

u

u

u

d

z

y

x







                             (9.7)

(9.3) tenglamaning o’ng tomonidagi

Zdz

Ydy

Xdx





biror kuch potensialining to’liq

differensialidir. Agar shu potensialni

)

,

,

(

z

y

x

f

F



 bilan belgilasak, u holda quyidagiga ega bo’lamiz

dF

Zdz

Ydy

Xdx







                                        (9.8)

Odatda, suyuqlikka ta‘sir qiluvchi massa kuch og’irlik kuchidir. U holda dekart koordinatalar

sistemasi quyidagicha bo’ladi:

gz

F





                                                 (9.9)

(9.5) tenglamaning o’ng tomonida yana bosim bilan ifodalanuvchi munosabat bo’lib, u bosimning

to’liq differensialini ifodalaydi, ya‘ni

dP

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p



















                                    (9.10)

(9.7), (9.8), (9.9), va (9.10) larni (9.5) ga qo’ysak, u quyidagi ko’rinishga keladi:

0

)

(

1

)

(

2

1

2







gz

d

dP

u

d



Hosil  bo’lgan tenglamani elementar oqimchaning 1-1 kesimidan (4.1-rasmga q.) 2-2 kesimigacha

integrallasak, quyidagi ko’rinishga keladi:

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

gz

g

p

u

gz

g

p

u











                           (9.11)

Bu tenglamadagi har bir had massa birligiga keltirilgan. Agar uni kuch birligiga keltirsak, ya‘ni g

ga ikki tomonini bo’lib  yuborsak, u holda







 g

 ni hisobga olib, quyidagini olamiz:

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

z

p

g

u

z

p

g

u















    (9.12)

Oxirgi tenglama 1738 yilda Bernulli tomonidan olingan bo’lib, uning nomi bilan ataladi va

gidravlika, suyuqlik va gazlar dinamikasi fanlarida harakatning asosiy tenglamasi bo’lib  xizmat qiladi.

Bernulli tenglamasini quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin:

const

z

p

g

u









2

2

                                    (9.13)

Ko’rinib turibdiki, Bernulli tenglamasida asosan

g

u

p

z

2

,

,

2



 kattaliklarning yig’indisi

o’zgarmas ekan.

D. Bernullining o’zi yuqoridagi tenglamani energiyaning o’zgarish qonunidan keltirib chiqargan

bo’lib, biz keltirgan usul esa Eyler tomonidan qo’llanilgan.

5

9.3.Bernulli tenglamasining geometrik, energetik va fizik mazmunlari.

Bernulli tenglamasining har bir I

2

 va I

3

o’zining geometrik va energetik mazmunlariga ega. Buni

aniqlash  uchun  biror  elementar  oqim  olib,  uch  1-1,  2-2  va      3-3  kesimlarni  ko’ramiz  (9.3-rasm).  Bu

kesimlarni og’irlik markazi biror 0-0 tekislikdan I

1

, I

2

 va I

3

 masofalarda bo’lsin. Bular qiyosiy tekislik 0-0

dan  elementar  oqimgacha  geometrik  balandliklarni  ko’rsatadi.  Endi    olingan  1-1,  2-2  va  3-3  tekisliklar

markazida  pezometr  va  uchi  egik  naychalar  urnatamiz.  Bu  holda  pezometrlarda  suyuqlik  kesimlar

og’irligi markaziga nisbatan ma‘lum balandliklarga ko’tariladi. Bular bosimlarda ifodalanadi:

,

1

1



p

h



,

2

2



p

h



,

3

3



p

h



h

1

, h

2

, h

3

 lar pezometrik balandliklar deb ataladi.

Uchi egilgan shisha naychalardagi balandlik

;

2

2

1

1

1

1

g

U

p

h







;

2

2

2

2

2

g

U

p

h









;

2

2

3

3

3

g

U

p

h









Pezometrlardagi suyuqlik balandlik bilan uchi egilgan shisha naychalardagi balandlik farqi

;

2

2

1

1

1

1

g

U

h

h





;

2

2

2

2

2

g

U

h

h







;

2

2

3

3

3

g

U

h

h







        larga teng bo’ladi va tezlik balandligi deyiladi.

Shunday qilib geometrik nuqtai nazardan Bernulli tenglamasining hadlari quyidagicha ataladi:

g

U

2

2

1

,

g

U

2

2

2

,

.

2

2

3

g

U

- Suyuqlikning tegishli kesimlaridagi tezlik bosimi;

,

1



p

,

2



p



3

p

- pezometrik balandliklar;

,

1

Z

,

2

Z

3

Z

- geometrik balandliklar.

,

2

2

g

U

,



p

Z

- birliklari uzunlik birligiga

tengdir.    Pezometrlardagi  suyuqlik  balandliklari

birlashtirsak  hosil    bo’lgan  chiziq pezometrik

chiziq deyiladi.    Bernulli  tenglamasidagi  tezlik

balandligi, 

pezometrik 

va 

geometrik

balanliklarning  umumiy  yig’indisi  o’zgarmas

miqdor  bo’lib,  u  9.3-rasmda  0-0  chizig’i  bilan

6

bilgilanadi va suyuqlikning bosim tezligi deb ataladi.

Gidrodinamikada  bu  uchta  balandliklar

,

2

2

g

U

,



p

Z

ning  yig’indisi  suyuqlikning to’liq  bosimi

deb ataladi va Н harfi bilan belgilanadi.

,

2

2

g

U

Н



,



p

.

const

Z



Bular  ideal  elementar  oqimchalar  uchun  Bernulli  tenglamasining  geometrik  manosini  bildiradi.

Uning  energetik  manosi  kinetik  energiyaning  o’zgarish  qonuni  bo’yicha  chiqarilishiga  asoslangan.

Bernulli  tenglamasi  suyuqliklar  uchun  energiyaning  saqlanish  qonunidir.    Bernulli  tenglamasining  chap

tomoni elementar oqimchaning 1-1 kesimidagi to’liq solishtirma energiyasi bo’lib, u 2-2 kesimdagi to’liq

solishtirma energiyaga teng yoki o’zgarmas miqdordir.

Bernuli tenglamasining energetik yoki fizik ma‘nosi quyidagicha bo’ladi:

g

U

2

2

1

,

g

U

2

2

2

,

.

2

2

3

g

U

  elementar  oqimchaning  1-1,  2-2,  3-3  kesimlarga  tegishli  solishtirma  kinetik

energiyasi;

5

5

2

2

1

1

,

,

Z

P

Z

P

Z

P













 elementar oqimcha kesimlari uchun solishtirma potensial energiya;

,

1



p

,

2



p



3

p

 kesimlarga tegishli bosim ifodalanuvchi solishtirma energiya;

,

1

Z

,

2

Z

3

Z

, 1-1, 2-2, 3-3 kesimlarga tegishli og’irlik bilan ifodalanuvchi solishtirma energiya

Bernuli tenglamasi ikki kesimda tegishli hadlarining ayirmasidan tashkil topadi:

g

U

U

2

2

2

2

1



 kinetik energiyaning birlik og’irlik uchun o’zgarishi:



2

1

P

P



 bosim kuchi bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi:

,

2

Z

3

Z

 og’irlik kuchi bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi.

Demak, suyuqlik harakat qilayotganda solishtirma kinetik va solishtirma potensial energiyalar

harakat davomida o’zgarib boradi, lekin, to’liq solishtirma energiya o’zgarmas bo’ladi.

NAZORAT SAVOLLARI

1. Real suyuqliklar deb nimaga aytiladi?

2. Suyuqliklarda qanday  ichki kuchlar mavjud?

3. Gidrodinamik bosimning gidrostatik bosimdan farqi nima?

4. Zo’riqish kuchi deb nimaga aytiladi?

5. Tenzorlar deb nimaga aytiladi?

6. Zo’riqish tenzorining normal tashkil etuvchilari deb nimaga aytiladi?

7. Zo’riqish tenzorining urinma tashkil etuvchilari deb nimaga aytiladi?

8. Simmetrik tenzor deb nimaga aytiladi?

9. Umumlashgan Nyuton gepotezasi deb nimaga aytiladi?

10. Nave-Stoks tenglamasini tushuntiring.

11. Bernulli tenglamasini keltirib chiqarish ning qanday  usullari mavjud?

12. Bernulli tenglamasini tushuntirib bering.