9-mavzu. Aniq integral yordamida geometrik va fizik kattaliklarni hisoblash. (1/1) Reja

Aylanma jism hajmini hisoblash.
Aniq integral yordamida o’zgaruvchan harakat jarayonida o’tilgan yo’lni, egri chiziqli shakllarning yuzini topish mumkiligini ko’rdik. Umuman, aniq integral yordamida geometric va fizik kattaliklarning o’lchamini topish uchun: 1) noma’lum kattalik o’lchami F(b) qiymat ko’rinishida izlanadi; 2) buning uchun F'(x)=f(x) hosila topiladi; 3) F(x) funksiya f(x) ning aniq integrali sifatida hisoblanadi; 4) topilgan natijaga x=b qiymat qo’yiladi va javob topiladi.
1-misol. YOZ tekislikdan x birlik uzoqlikda unga parallel bo’lgan tekislik (A) shaklni kessin .

S(x)
z (A)

y x

Kesim yuzini S(x) orqali belgilaylik. Shakl x=a va x=b (0Yechish. Shaklning x=x₀ tekislik bilan kesimini Ф(x₀), uning yuzini S(x₀) orqali belgilaylik. y=S՛(x) funksiya uzluksiz va x₁2 da Ф(x₁) kesimning YOZ tekislikdagi proyeksiyasi Ф(x₂) ning proyeksiyasi ichida yotsin, ya’ni shakl a dan b ga tomon kengaysin. (S(x) funksiya o’suvchi ma’nosida). Shaklning kesmaga mos qismning hajmi V(x) bo’lsin. V ՛(x) hosilani topamiz. Shu maqsadda biror x₀ qiymatni olib, unda h>0 orttirma beramiz. Saklning ₁ va ₂ tekisliklar orasidagi ՛qismining hajmi V(x₀+h)-V(x₀) bo’ladi va ushbu8 qo’sh tengsizlik bajariladi:
hS(x₀) V(x₀+h)-V(x₀) hS(x₀),
bunda hS(x₀)-shu qismning ichiga to’liq joylashadigan silindrik shaklning hajmi, hS(x₀+h) – o’sha qismni o’z ichiga olgan silindrik shaklning hajmi. Qo’sh tengsizlikni quyidagi ko’rinishda yozamiz:
S(x₀) S(x₀+h)
Y=S(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, h 0 da S(x₀+h) ning qiymati ham,
ning qiymati ham S(x₀) ga intiladi:
V (x₀) S(x₀)
Demak, y=V(x) funksiya y=S(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasidan iborat. Nyuton-Leybnis formulasi bo’yicha:
=V(b)-V(a)=V-0=V, V=

1. 
   Bundan ko’rinadiki agar jismning Ox o’qqa perpendikulyar bo’lgan ko’ndalang kesimning S(x) yuzi ma’lum bo’lsa, uning hajmini V= formula yordamida hisoblash mumkin.
   
2. 
   Aylanish jismlarining hajmi. Agar jism yuqoridan y=f(x) uzluksiz (a