A. A. Detlaf, B. M. Yavorskiy fizika kursi

 
Mexanik sistemaning massa markaziga nisbatan impuls momentidan vaqt bo‘yicha 
olingan hosila, sistemaga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning o‘sha nuqtaga nisbatan 
bosh momentiga teng. 
 
        Ko‘rsatish  mumkinki, 
r
L
c
  hisoblashda  teng  xuquqli  ravishda  sistema  barcha 
nuqtalarining K qo‘zg‘almas sanoq sistemasidagi yoki unga nisbatan massa markazi tezligi 
c
V
r
  bilan  ilgarilanma  harakatlanayotgan  sanoq  sistemasidagi  harakatlarining  impulslarini 
olish mumkin. Xaqiqatdan ham 2,6-§ da kiritilgan 
c
i
i
i
r
r
r
r
r
r
r
r
−
=
=
′
∗
 va 
c
i
i
v
v
v
r
r
r
−
=
∗
 belgilardan 
foydalanib, 

 
60 
 
 
[ ]
(
)
[
]
[ ] [ ]
[ ]
L
r P
m r v
v
r P
m r v
r P
С
i
i
i
n
i i
i
c
i
n
i
i
i
n
c
c
i
i
i
n
=
=
+
=
+
=
∗
=
∗
∗
=
∗
∗
=
∗
∗
∗
=
∑
∑
∑
∑
1
1
1
1
 
formulani olamiz, chunki  
0
*
=
c
r
. 
  
        4.3- §.  Qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanuvchi qattiq jism dinamikasi 
 
1. Dekart koordinata sistemaning shunday joylashtiramizki, OZ o‘q jismning aylanish o‘qi 
bilan mos tushsin, uning k orti esa jismning 
ω
r
 burchakli tezligi bilan bir xil yo‘nalsin (4.4-
rasm). Bunda 
ω
r
= 
ω
z
k, bu yerda 
ω
z
=
ω>0. 
 
Qo‘zg‘almas  OZ  o‘q  atrofida  aylanuvchi  qattiq  jism  dinamikasining  asosiy  
tenglamasi 
 
 
 
 
tash
z
z
M
dt
dL
r
=
   
 
 
 
(4.26) 
ko‘rinishga ega bo‘ladi. 
        Aylanuvchi jismning o‘qqa nisbatan impuls momenti bilan 
ω
r
 burchakli tezlik orasidagi bog‘lanishni topamiz. 4.4-rasmdan 
ko‘rinadiki,  jism  tarkibiga  kiruvchi  m
i
  massali  moddiy 
nuqtaning  radius-vektori 
i
i
OO
r
ρ
r
r
+
=
  bo‘ladi,  bunda  0
i 
-
tekshirilayotgan  moddiy  nuqta  harakatlanayotgan 
ρ
i
  radiusli 
aylananing  markazi.  Koordinata  boshi  0  ga  nisbatan  jismning 
impuls momenti 
[
]
[
] [
]
∑
∑
∑
=
=
=
+
=
=
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
m
m
OO
m
r
L
1
1
1
v
v
v
r
r
r
r
r
ρ
 
[
]
v
r
r
i
i
m
O
O
  vektor  OZ  o‘qqa  tik,  /*  vektor  esa  OZ  o‘q  bo‘ylab 
yo‘nalgan. Shunday qilib,  
L
m
z
i
i
i
n
z
=
=
∑
ρ ω
2
1
 
 
 
 
(4.27) 
2.  Mexanik  sistemani  tashkil  qiluvchi  hamma  moddiy 
nuqta  m
i
  massalarining  aylana  o‘qidan  ulargacha  bo‘lgan 
ρ
i
 
masofaning  kvadratiga  ko‘paytmasining  yig‘indisiga  teng 
bo‘lgan J kattalik sistemaning shu o‘qqa nisbatan inersiya momenti deyiladi: 
J
m
i
i
i
n
=
=
∑
ρ
2
1
   
 
 
 
(4.28) 
 
Shunday qilib, jismning OZ o‘qqa nisbatan impuls momenti 
L
J
z
z
= ω
 
 
 
 
 
(4.27
′) 
bo‘ladi.  Bu  yerda  J  jismning  OZ  aylanish  o‘qiga  nisbatan  inersiya  momenti.  (4.27
′)  ni 
hisobga olib, (4.26) ni quyidagi shaklda qayta yozishimiz mumkin: 
(
)
tash
z
z
M
J
dt
d
=
ω
 
 
 
 
(4.29) 
 
Agar  jism  aylanish  jarayonida  deformasiyalanmasa,  uning  inersiya  momenti 
o‘zgarmaydi va (4.29) da uni differensial belgisi ostidan chiqarish mumkin: 
 
tash
z
z
M
dt
d
J
=
ω
 
yoki   
 
 
Z 
O
i
 
ρρρρ
i
 
ω
ω
ω
ω
 
0
 
K
 
4.4-rasm 
V
i
 
m
i
 
r
i
 
 

 
61 
 
 
tash
z
z
M
I
=
ε
       ,                     
 
(4.29
′) 
bu  yerda 
ε
z
=d
ω
z
/dt  -  burchakli  tezlanish 
k
z
r
r
ε
ε
=
  vektorining  OZ  aylanish  o‘qiga 
proeksiyasi. 
(4.29
′)  dan  ko‘rinadiki,  ε
z
  inersiya  momenti  J  ga  teskari  proporsional.  Demak, 
jismning  aylanish  o‘qiga  nisbatan inersiya  momenti uning shu  o‘q atrofida  aylanishidagi 
jism inertligining o‘lchovidir. 
3.  Qat’iy  qilib  aytganda,  jismni  m  massasi  uning  V  hajmi  bo‘yicha  uzluksiz 
taqsimlangan mexanik sistema sifatida qarash lozim, bunda jismning inersiya momenti 
( )
( )
∫
∫
=
=
v
m
DdV
dm
J
2
2
ρ
ρ
 
 
 
 
(4.30) 
bo‘ladi. Bu yerda D - jismning zichligi, dm=D dV - jismning aylanish o‘qidan 
ρ masofada 
turgan  dV  hajm  kichik  elementining  massasi.  Jismning  inersiya 
momenti  uning  materialiga,  shakliga,  o‘lchamiga,  shuningdek 
jismning aylanish o‘qiga nisbatan joylashishiga bog‘liq. 
 
Agar shteyner teoremasidan foydalanilsa, ixtiyoriy o‘qqa 
nisbatan jismning inersiya momentini hisoblash osonlashadi: 
jismning  ixtiyoriy  a  o‘qqa  nisbatan  inersiya  momenti,  bu  o‘qqa 
parallel va jismning S massa markazidan o‘tgan o‘qqa nisbatan 
inersiya momenti J
s
 bilan jism massasi m ni shu o‘qlar orasidagi 
masofaning  kvadratiga  ko‘paytmasining  yig‘indisiga  teng  (4.5-
rasm): 
J
a
 = J
c
 + md
2 
 
 
 
 
 
(4.31) 
Bu  teoremani  isbotlaymiz.  4.6-rasmda  a  va  a
s
  o‘qlar  chizma 
tekisligiga  tik  yo‘nalgan,  massasi  dm  bo‘lgan  jismning  kichik 
elementidan 
bu 
o‘qlargacha  bo‘lgan  masofalar 
ρ  va  ρ
s
 
bilan  belgilangan.  Kosinuslar  teoremasi 
bo‘yicha 
ϕ
ρ
ρ
ρ
cos
2
2
2
0
2
c
d
d
+
+
=
  va 
( )
( )
( )
J
dm
dm md
d x dm
a
m
c
m
m
=
=
+
+
∫
∫
∫
∗
ρ
ρ
2
2
2
2
 
bo‘ladi.  Bu  yerda  x
*
= 
ρ
s
  sos 
ϕ  -  jism  dm 
elementining  boshlanishi  jism  massa 
markazida  va  abstsissasi  a  va  a
s
  o‘qlar 
bilan  kesishuvchi  va  ular  yotgan  tekislikka  tik  bo‘lgan  koordinatalar  sistemasidagi 
abstsissasi. Massa markazini  ta’rifida (2.22
′′) 
x dm
mx
c
m
∗
∗
=
=
∫
( )
0
 
bo‘lishi  kelib  chiqadi,chunki  jismning  massa  markazi  koordinata  boshi  bilan  mos 
tushadi.Shunday qilib (4.31) munosabatning to‘g‘riligi isbotlandi. 
4.  Sodda  shaklli  jismlar  inersiya  momentlarini  hisoblashga  bir  necha  misollar 
ko‘ramiz. 
1-misol.  Massasi  m  va  radiusi  R  bo‘lgan  yupqa    devorli  doiraviy  silindrning  o‘qiga 
nisbatan inersiya momenti. 
        Bunday  silindrning  hamma  kichik  elementlari  uning  massa  markazi  S  dan  o‘tgan 
o‘qdan bir xil R masofada joylashgan. 
 
J
а
 
а
 
d 
а
C
 
C 
J
с
 
4.5-rasm 
 
 
Y* 
a 
d 
a
c
 
dm 
X* 
ϕ 
ρ 
ρ
c
 
 
4.6-rasm 

 
62 
 
 
        Shuning uchun 
J
R dm
mR
c
m
=
=
∫
2
2
( )
  
 
 
 
(4.32) 
bo‘ladi. 
2-misol. Massasi m va radiusi R bo‘lgan bir jinsli yaxlit silindrning o‘qiga nisbatan 
inersiya momenti. 
          Silindrni fikran juda ko‘p sonli umumiy o‘qli yupqa silindrlarga bo‘lamiz. Aytaylik 
ulardan birortasining radiusi r, devorining qalinligi esa dr<inersiya momenti 
dJ
c
 = r
2
 dm = r
2
 2
π rHDdr 
 
 
 
(4.33) 
bo‘ladi.  Bu  yerda  N  -silindr  balandligi;  D-uning  zichligi.  Yaxlit  silindrning  inersiya 
momentini uning hamma kichik elementlari inersiya  momentlarini summasini olib, ya’ni 
(4.33) ifodani r bo‘yicha 0 dan R gacha integrallab  topamiz: 
∫
=
=
=
R
c
mR
HD
R
dr
r
HD
J
0
2
2
3
2
2
1
2
π
π
, 
 
 
(4.34) 
chunki silindr massasi m=D
πR
2
N. 
      3-Misol.  Massasi  m  va  uzunligi  l  bo‘ulgan  bir  jinsli  ingichka  sterjenning  o‘rtasidan 
o‘tgan o‘qqa nisbatan inersiya momenti. Sterjenni fikran kichik bo‘lakchalarga bo‘lamiz. 
Aytaylik  x  -  bunday  bo‘laklardan  birining  aylanish 
o‘qigacha bo‘lgan masofasi, dx-bo‘lakchaning uzunligi. 
U holda bu elementning inersiya momenti 
 
DSdx
x
dm
x
dJ
c
2
2
=
=
 
 
 
 
(4.35) 
bo‘ladi.Bu  yerda  S-  sterjenning  ko‘ndalang  kesim 
yuzasi  (
l
S
<<
);  D-  uning  zichligi.  Sterjenning  bitta 
yarmining inersiya momentini (4.35) ifodani x bo‘yicha 
0 dan 
l
/2 gacha integrallab topamiz, butun sterjenning 
inersiya momenti ikki marta katta: 
12
2
3
2
2
2
3
2
/
0
2
ml
l
DS
dx
x
DS
J
R
c
=






=
=
∫
, 
 
 
(4.36) 
chunki  sterjenning  massasi  m=DlS.  Pirovordida  m 
massali va R radiusli bir jinsli sharning uning markazidan o‘tgan o‘qqa nisbatan inersiya 
momentini tayyor xolda keltiramiz: 
J
mR
c
= =
2
5
2
 
 
 
 
   (4.37)  
5.  Jism  qo‘zg‘almas  o‘q  atrofida  aylanganda  unga  ta  ‘sir  etayotgan  kuchning  faqat 
bir  tashkil  etuvchisi,  aynan  troektoriyaga  urinma  holda  qo‘yilgan  tashkil  etuvchisi  bu 
o‘qqa nisbatan moment hosil qiladi. Aslida, aylanayotgan jismning N nuqtasiga qo‘yilgan 
F kuchni 4.8- rasmda ko‘rsatilgandek oldin ikki tashkil etuvchiga  
 
С
 
R 
r 
dr 
H 
4.7-rasm 
m 
 

 
63 
 
 
ajratamiz: 0Z aylanish o‘qiga parallel  (F
//
) va unga tik (F
⊥
). O‘z navbatida F
⊥
 kuchni ham 
ikki tashkil etuvchiga ajratamiz: F
τ
 - markazi 0
′ nuqtada bo‘lgan aylanaga urinma bo‘lgan 
N  nuqta  harakatlanuvchi  va  F
n
  -  0
′N  radius  bo‘ylab 
yo‘nalgan  normal,  ya’ni  jismning  aylanish  o‘qiga  tik 
bo‘lgan.  Koordinata  boshi  0  ga  nisbatan  F  kuch 
momenti 
[ ]
(
)
[
]
τ
F
F
F
r
F
r
M
r
r
r
r
r
r
r
+
+
=
=
//
 
bo‘ladi.        Chunki 
O
O
O
O
r
′
+
′
=
,
ρ
r
r
  va 
//
F
r
, 
ρ
r
  va  F
n
 
vektorlar  o‘zaro  kollineardir,  shunday  ekan  ularning 
vektor ko‘paytmalari nolga teng, unda 
[
]
[
] [
]
[ ]
τ
τ
ρ
ρ
F
F
O
O
F
O
O
F
M
n
r
r
r
r
r
+
′
+
′
+
=
//
 
bo‘ladi. Bu tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi uchta 
had jismning aylanish o‘qiga tik yo‘nalgan vektorlardan 
iborat,  to‘rtinchisi  esa  bu  o‘q  bo‘yicha  yo‘nalgan 
vektor. Demak, 0Z o‘qqa nisbatan F kuch momenti 
[ ]
τ
τ
ρ
pF
F
M
Z
z
=
=
r
r
   
 
 
 
(4.38) 
ifodaga  teng.  Bu  yerda 
ρ  -  kuch  qo‘yilgan  nuqtadan  o‘qqacha  bo‘lgan  masofa,  F
τ
  -  F 
kuchning 
υ
τ
/
v
=
r
  vektor  yo‘nalishidagi  proeksiyasi,  bu  yerda  V  -  aylanuvchi  jism  N 
nuqtasining chiziqli tezligi
*)
. Kichik dt vaqt ichida N nuqtaning siljishi 
[ ]
[
]
dr
Vdt
dt
d
=
=
=
r r
r r
ω ρ
ϕ ρ
 
ifoda bilan aniqlanadi. Bu yerda 
ϕ
d
 - jismning dt vaqt ichidagi elementar burilishi. Bunda 
jismga qo‘yilgan F kuch elementar 
δA = Fdr = F
τ 
dr| 
ish bajaradi. Bunda 
ϕ
r
d
 va 
ρ
r
 o‘zaro ortogonal’ bo‘lgani uchun 
dr= ρ dϕ  va 
δA = ρ F
τ 
d
ϕ = M
z
 d
ϕ =M 
ϕ
r
d
   
 
 
(4.39) 
bo‘ladi. 
6. Qo‘zg‘almas OZ o‘q atrofida aylanuvchi jismning kinetik energiyasi uchun ifoda 
topaylik. Aylanish o‘qidan 
ρ masofada turuvchi jismning dm massaga ega bo‘lgan kichik 
elementining dW
k
 kinetik energiyasi 
 dW
k
 = 1/2
υ
2
 dm = 1/2
ωρ
2
dm 
ifodaga teng bo‘ladi. 
 
Butun jismning kinetik energiyasi 
( )
W
dm
J
k
m
=
=
∫
ω
ρ
ω
2
2
2
2
2
   
 
 
(4.40) 
formula bilan aniqlanadi. Bu yerda J- aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti. 
 
Ko‘rsatish  mumkinki  (3.2-§  dagi  Kyoning  teoremasiga  qarang),  qattiq  jismning 
erkin  harakatida  uning  kinetik  energiyasi  V
s
  tezlik  bilan  ilgarilanma  harakat  qilayotgan 
massa  markazining  kinetik  energiyasi  (
2
2
/
1
c
ил
k
m
W
ϑ
=
,    m  -  jism  massasi)  bilan  massa 
markazidan  o‘tgan  oniy  o‘q  atrofida 
rω
  burchakli  tezlik  aylanayotgan  jismning  aylanish 
kinetik  energiyasi  (
2
2
/
1
ω
c
айл
k
J
W
=
,  (J
s
  -oniy  o‘qqa  nisbatan  jismning  inersiya  momenti) 
yig‘indisiga teng: 
                                    
*
) ÎZ o’qining musbat yo’nalishi paragrafning boshida ko’rsatilgandek tanlangan. 
 
Z 
N
 
F
τ
 
F
 
F
⊥
 
F
|| 
ω
ω
ω
ω
 
k
 
r
 
0
 
ρρρρ
 
4.8-rasm
 
F
n 
0
 
 

 
64 
 
 
2
2
2
/
1
2
/
1
ω
υ
c
c
k
J
m
W
+
=
.   
 
 
(4.41) 
 
Shuni  nazarda  tutish  kerakki,  umumiy  holda  bu  jismning  massa  markazi  atrofida 
oniy  aylanish  o‘qining  jismga  nisbatan  holati  vaqt  o‘tishi  bilan  o‘zgaradi,  bunda 
const
J
c
≠
.  Ammo  ko‘p  hollarda  (masalan  bir  jinsli  silindr  yoki  sharning  tekislikda 
tebranishida) 
const
J
c
=
. 
7.
 Agar qattiq jism qo‘zg‘almas o‘q atrofida 
ω
r
 burchakli tezlik bilan aylanayotgan 
bo‘lsa, uning kinetik energiyasi 
W
k 
=1/2
ω
r
L  
 
 
 
(4.42) 
bo‘ladi. Bu yerda 
[ ]
( )
∫
=
m
dm
rV
L
 - koordinata boshi uchun qabul qilingan O nuqtaga nisbatan 
jismning  impuls  momenti.  Aslida,  jism  kichik  elementining  tezligi 
[ ]
r
ω
r
=
v
  bo‘ladi. 
Shuning uchun uning kinetik energiyasi 
[ ]
[ ]
dm
r
r
dm
dm
dW
k
v
v
v
v
r
r
r
r
r
r
r
r
ω
ω
2
/
1
2
/
1
2
/
1
=
=
=
, 
chunki  uch  vektorning  aralash  ko‘paytmasi  hamma  ko‘paytuvchilarning  siklik 
almashtirishda  o‘zgarmaydi.  Bu  ifodani  integrallab  butun  jismning  kinetik  energiyasini 
topamiz: 
[ ]
( )
∫
=
=
m
k
L
dm
W
r
r
r
r
r
ω
ω
2
1
2
1
v
r
 
 
SAVOLLAR 
 
1.  Qattiq  jism  aylanma  harakati  kinematikasi,  bu  jism  nuqtalarining  tezlik  va  tezlanishi 
bilan qanday bog‘langan? 
2.  Qo‘zg‘almas  o‘qqa  nisbatan  mexanik  sistemaning  impuls  momenti  bilan  shu  nuqtaga 
nisbatan sistemaga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning momenti o‘zaro qanday bog‘langan? 
3.  Qattiq  jismning  qo‘zg‘almas  o‘qqa  nisbatan  aylanish  holi  uchun  dinamika  qonuni 
qanday olinadi? 
4.  Jismning  inersiya  momenti  nimalarga  bog‘liq  va  jismning  aylanishida  u  qanday  rol 
o‘ynaydi? 
5. Bir jinsli m massali sirpanishsiz dumalayotgan sharning, agar uning massa markazining 
tezligi 
υ
s
  bo‘lsa,  kinetik  energiyasini  toping.  Agar  sharning  o‘rniga  bir  jinsli  doiraviy 
silindr dumalasa, natija qanday bo‘ladi? 
 
 

 
65 
 
 
5-BOB
      __________________________________________________________ 
 
MEXANIKADA  SAQLANISH  QONUNLARI 
________________________________________________________________________ 
 
5.1-§. Impulsning saqlanish qonuni. Absolyut noelastik urilish 
 
1.
  Yopiq  sistemaga  tashqi  kuchlar  ta’sir  etmaydi.  Shuning  uchun  impulsning 
o‘zgarish  (2.20)  qonunidan  impulsning  saqlanish  qonuni  deb  ataluvchi  quyidagi  qonun 
kelib chiqadi:  yopiq sistemaning impulsi vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi: 
0
/
=
dt
P
d
r
   
 
const
m
p
n
i
i
i
=
=
∑
=1
v
r
r
   
 
(5.1) 
bu yerda m
i
 va 
i
v
r
 – n ta nuqtadan tashkil topgan sistemaning i nchi moddiy nuqtasining 
massa va tezligi.  
 
Shuningdek,  yopiq  sistema  impulsining  inersial  sanoq  sistemasining  dekart 
koordinat o‘qlaridagi proeksiyalari ham o‘zgarmaydi: 
const
P
const
p
const
p
z
y
x
=
=
=
,
,
   
 
 
(5.1`)   
 
Sistemaning impulsi 
c
m
p
v
r
r =
 bo‘ladi. Bu yerda m-sistemaning to‘liq massasi, 
c
v
r
 – 
uning massa markazining tezligi. Shuning uchun impulsning saqlanish qonunidan quyidagi 
natija  kelib  chiqadi:  yopiq  sistemada  sodir  bo‘luvchi  har  qanday  jarayonlarda  sistema 
massa markazining tezligi o‘zgarmaydi:
   
const
c
=
v
r
. 
 
Biz  N’yuton  qonunlariga  asoslanib,  impulsning  saqlanish  qonunini  oldik,  chunki 
ayni  uning  yordamida  impulsning  o‘zgarish  qonuni  (2.20)  keltirib  chiqarilgan.  Ammo 
impulsning  saqlanish  qonuni,  N’yuton  qonunlaridan  farqli  ravishda  klassik  mexanika 
chegarasidan  tashqarida  ham  o‘rinlidir.  Masalan,  tajribalarning  ko‘rsatishicha  bu  qonun 
mikroskopik  jismlar  sistemasi  uchun  qanchalik  to‘g‘ri  bo‘lsa,  xatti-harakati  N’yuton 
mexanikasi  bilan  emas,  balki  kvant  mexanikasi  bilan  ifodalanuvchi  mikrozarralar 
sistemasi uchun ham shunchalik to‘g‘ridir. Bu qonun sistemani tashkil qiluvchi jism yoki 
zarrachalarning  tezligi  kichik  yoki  kattaligiga  bog‘liq  bo‘lmagan  holda  relyativistik 
mexanikada ham bajariladi. Bunda impulsga na faqat zarracha va jism, balki maydon ham 
ega  bo‘lishini  nazarda  tutish  kerak.  Buning  ko‘rgazmali  ravishda  tasdiqlanishini 
elektromagnit  to‘lqinlarning,  xususan  yorug‘likning  to‘siqdan  qaytishida  yoki  unda 
yutilishida bosim berishida ko‘rishimiz mumkin.  
 
Shunday  qilib,  impulsning  saqlanish  qonuni  fizikaning  eng  fundamental 
qonunlaridan biridir. Bu masalaga yana 5.6-§ da to‘xtalamiz.