A. N. Elmurodov Respublika ta’lim markazi uslubchisi

0 !
6
4
6
4
6
4
 
#
#
#
#
−
⎛
⎞
− =
+
− = +
−
= +
=
⎜
⎟
⎝
⎠
%
%
2
2
#
#
= +
=
  yoki  qisqacha: 
 
!
#

0 !
%
6
4
 
 
#
#
#
−
−
=
=
.
Bu  misolda  quyidagi  qoidadan  foydalanildi:  yig‘indidan  sonni
ayirish uchun, mumkin bo‘lgan holda, qo‘shiluvchilarning biridan son-
ni ayirib, natijaga ikkinchi qo‘shiluvchini qo‘shish kifoya.

#3
3- m i s o l .
 
( ) ( )
%
#
#
#
%
#
'
2
2
2
'
2
%
2
%
2
%
2
−
=
−
+
=
−
−
=
"
!
%
#
28 #
!
!
'
2
!6
!6
!6
#
#
#
#
−
=
−
= +
= +
=
yoki  qisqacha: 
"
!
%
#
28 #
!
'
2
!6
!6
%
2
#
#
−
−
=
=
.
Bu  yerda  quyidagi  qoidadan  foydalanildi:  sondan  yig‘indini
ayirish uchun sondan qo‘shiluvchilardan biri (qulayi)ni ayirish, nati-
jadan ikkinchi qo‘shiluvchini ayirish mumkin.
4- m i s o l .
 
%
'
%
2
'
'
'
'
 − = − =
,  chunki  1  ni  istalgan  suratli  va
unga  teng  maxrajli  kasr  orqali  ifodalash  mumkin.
5- m i s o l .
 
( )
−
− =
+
− =
=
6
%
6
% 6

%
%
%
%
%
!
 
 
 
  ("-misolga  qarang).
6- m i s o l .
−
−
−
−
= +
= + +
= +
=
!
 

 
! 4
6
! 4
' 4
#
 
!
6
6
6
6
6
&
4
4
!
!
!
yoki  qisqacha: 
−
−
−
=
=
=
!
 

 
! 4
' 4
#
 
!
6
6
6
&
4
4
!
!
.
So‘nggi  misolda  kamayuvchining  kasr  qismi  ayriluvchining
kasr  qismidan  kichik,  ya’ni 

2
2
!
<
.  Bunday  holda  kamayuvchining
butun  qismidan  bir  birlik  olinadi  va  u 
6
6
  kasr  ko‘rinishida  ifo-
dalanadi.
J a v o b :  
5
$
!
.
Natural sonlarni qo‘shish va ayirishga oid barcha qonunlar
kasr sonlar uchun ham o‘rinli. Ko‘p hollarda ularni qo‘llash
natijasida hisoblash jarayonlari soddalashadi.
285. 1)  Bir  xil  maxrajli  aralash  sonlarni  qo‘shish  va  ayirish  qoi-
dasini  ifodalang.  Qo‘shishning  qanday  qonunlarini  bilasiz?
 )  Har  xil  maxrajli  aralash  sonlarni  qo‘shish  qoidasini  ifo-
dalang.
3)  Har  xil  maxrajli  aralash  sonlarni  ayirish  qoidasini  ifodalang.
")  Ayirishning  qanday  qonunlarini  bilasiz?
?

#"
Yig‘indini  toping  (286–289):
286. 1)
+
!

"
"
 

;
 )
+
!
"
!7
!7
!
;
3)
+
!



$
 
;
")
+
!
!
$
$
$
.
287. 1)
+

2
6
!
!
2
;
 )
+
#

%
4
&
 
;
3)
#

6
2

&
+
;
")
+
%
#
0
20
$
'
.
288. 1)
!
5

&
 
$
+
;
 )
!

"
$

 
+
;
3)
5

9
$
%
!
+
;
")
!
5
"
$
 

+
.
289. 1)
+
2

!
#

"
;
 )
+
"

5
2
"
5
;
3)
+

2
!
5
!
2
;
")
+

2
$
7
"
7
.
290. C  va  D  nuqta  AB  kesmani  uchta  bo‘lakka  bo‘ladi.
=

2
"
AC
sm, 
=

"
!
CD
  sm  va 
=

&
 
DB
  sm  bo‘lsa,  AB  ni
toping.
291. Ifodaning  qiymatini  toping:
1) 
4

#
'
!
2
%
&
'
+
+
;
 ) 
%

%
20
!0
#
"
#
+
+
;
3) 
!

#
4
#
2
!
4
#
+
+
.
292. Qovunning  massasi 
7
&
!
  kg,  tarvuz  qovundan 
!
"

  kg  ga
og‘irroq,  qovoqning  massasi  esa  tarvuz  va  qovun  massalari
yig‘indisidan 

&

  kg  ga  ortiq.  Qovoqning  massasi  necha
kilogramm  (13-rasm)?
13
293. Qo‘shish  qonunlaridan  foydalanib,  yig‘indini  hisoblang:
1) 
(
) (
)
+
+
+
+
+
#
%
%
#
8
8
2!
22
#
22
#
2!

!
2

!
;
 ) 
5
!


2
$
$
5
7
$
5
7
'

2


5
+
+
+
+
+
.
            Ayirmani  toping  (294–296):
294. 1)
5

$
!
5

−
;
 )
5
5
7
"
7
"
−
;
3)
%

8
2

#
−
;
")
%
!
8
6
  −
.
295. 1)
−
#
!
6
8
%
 
;
 )
−
7
!
&

"
 
;
3)
−
%

20
8
%
!
;
")
5
!
&
2
&
!
−
.

##
296. 1)
7
"
9
7
$
"
−
;
 )
−
"
!
5
2

%
;
3)
4

#
2
2

−
;
")
5
!
7
5
 −
.
297. Bo‘sh  idish 
!
"
  kg  keladi,  asal  bilan  to‘ldirilgani  esa 

2
$
  kg.
Idishdagi  asal  necha  kilogramm?
298. Jadvalni  to‘ldiring:
a
7


!
7
'
9

#
7
2
#
!

"
b

#
!
!
5
"
!
0
!
5
&

a + b
2
2
"
 3
!
5
%
a − b
!

 
!
"
$
299. Noma’lum  sonni  toping:
1)

!
2
4

x
+ =
;
 )
!
%
4
2
2
x
− =
;
3)


8
2

2
x +
=
.
300.
7
5
 5
  ni  hosil  qilish  uchun 
4
#
%
  ga  qanday  sonni  qo‘shish
kerak?
301. Ikkita qopchadagi un 

2
#
 kg, ulardan birida 
2
#
%
 kg un bor.
Qaysi  qopchadagi  un  ko‘p  va  qanchaga  ko‘p?
302. Ifodaning  son  qiymatini  toping:
1) 
4
!
%
#
4#
2

$
+
−
;     ) 
( )
#
6
!
28
%
4

+
−
; 3) 
%
#
!

2
8
4
6
8

2
−
+
−
.
303. Sonlarni  taqqoslang.  Ularning  yig‘indisi  va  ayirmasini
toping:
1) 
7
2
!
  ... 
8
'
"
;           ) 
7
&
#
  ... 
#
2
#
;
      3) 

!
$
  ... 
"
!
#
.
304. C  va  D  nuqta  AB  kesmani  uchta  bo‘lakka  bo‘ladi.  Agar
=

5
 %
AB
  sm, 
=
!
"
&
AC
  sm  va 
=
7

'
DB
  sm  bo‘lsa,  CD  ni
toping.
305.1,   ,  3,  #,  &,  13,  ...  sonlar  qatoridagi  qonuniyatni  aniqlang
va  keyingi  uchta  sonni  yozing.

#$
Amallarni  bajaring  (306–307):
306.  1)
+
−
7
7

5
!
!
"
 
5
;    )
+
−

!
2!
2
2"
2"
#
"
$
;
3)
−
+

!
5
2
"
$
!

2
.
307.  1) 



!
#
#
%

− −
;
   ) 
%


8
4
2
!

−
−
;
3) 
−
+
%
2

'
!
6
"

.
308.  Amallarni  bajaring:
 
1)
+
−
5

!
&
&
$
%
"
 
;
   )
+
−
!
6
#
28
%
4
!
2

;
3)
−
+
2


!
$
2
!

%
.
309. Tenglamani  yeching:
1) 
( )
−
+
=
%

!
8
6
4
 
4
#
x
;
 ) 
+
= +
"
2
2
!
!
5
y
.
310. AB  kesmaning  uzunligi 
!
#
 
  dm  ga,  CD  kesmaning  uzunligi
esa 
"
25
2
dm ga  teng.  Qaysi  kesma  uzun?  Qanchaga  uzun?
311. So‘roq  belgisi  o‘rniga  mos  sonlarni  qo‘ying  (1"-rasm):
−−−−−
 
!
!
14
?
10
– ?
+ ?
+ ?
!
"


!
5
1
1#
8
312. Birinchi  son 
3
7
#
  ga  teng.  Ikkinchi  son  undan 
4
7
6
  ga  ortiq.
Uchinchi  son  shu  ikkala  son  yig‘indisidan 
9
0
%
  ga  kam.
Uchala  son  yig‘indisini  toping.
313. Bir  to‘pda 
3
8
4
  m  mato,  ikkinchisida  esa  undan 
7
0
!
  m
kam  mato  bor.  Ikkala  to‘pda  jami  necha  metr  mato  bor?
314. O‘ylangan  sondan 
7
8
  ayrilsa,  u  holda 
3
8
  va 

36
  sonlari
ayirmasiga  teng  son  hosil  bo‘ladi.  Qanday  son  o‘ylangan?
315. Bir  son  ikkinchi  sondan 
7
0
  ga  ortiq.  Ularning  yig‘indisi
7
0
!
  ga  teng.  Shu  sonlarni  toping.
316. Agar 
=

&
#
a
  va 
=

!
!
b
  bo‘lsa, 
+ −

!
2
a b
  ifodaning  son  qiy-
matini  toping.

#%
317. Tenglamani  yeching:
1) 
(
)
−
−
=
7


3#
28
40
4

2
x
;
 ) 
( )
−
+
=
9
4
3
2#
#
20
#

2 .
x
318.
7
6
2
  ni  hosil  qilish  uchun 
3
4
1
  ni  qanday  songa  kamaytirish
kerak?
319. Ifodaning  qiymatini  qulay  usul  bilan  hisoblang:
1) 
(
)
7
9
8
2#
3#
2#
8
#
−
+
;
 ) 
(
)
#
8
#
44
3
44
#
2
+
−
.
Amallarni  bajaring  (320–325):
320. 1) 
+
!
2
7
7
'
;
 ) 
+
5
7
22
22
!
;
3) 
+
!

5
5
!
2
;
") 
+


2
2
2
!
.
321. 1) 
+

3
2
8
3
;
 ) 
+
#
#
2
6
#
;  
3) 
+

7
#
#
2
;
")
+

4
3
9
&

.
322. 1)
2

9
$
!

+
;
 )
!
5
&
$
1
%
+
;
3)
&
"
5
9
"
+
;
")
5
!
$
0
2
+
.
323. 1) 
−
!
!
&
&
%
2
;
 ) 
−
"

5
5
5
!
;
3) 
−
$

7
7
2
;
") 
−
!
!
5
5
5
.
324. 1) 
−
&

9
!
#
4
;
 ) 
−
!
5

22
4
;
3) 
−
5
!
$
"
!
1
;
") 
−
7
5
&
$
'
1
.
325. 1) 
!
7
0
5
!

−
;
 ) 
7
5
&
$
&
4
−
;
3) 
5
!
2
&
5
!
−
;
") 
"

5
$
!

−
.
326. Supermarketga 

2
&
t  un  keltirildi.  Uning 
3
4
2
tonnasi
sotildi.  Shundan  so‘ng  necha  tonna  un  qoldi?
327. Bir  xaltachada 

2
  kg,  ikkinchisida  esa  undan 

5
  kg  kam
konfet  bor.  Ikkala  xaltachada  jami  necha  kilogramm
konfet  bor?
328. Bir  to‘p  atlasdan  avval 

#
6
  m,  so‘ngra 
3
0
3
  m  mato
qirqib  olingandan  keyin 

2

  m  mato  qoldi.  To‘pda  ham-
masi  bo‘lib  necha  metr  atlas  bo‘lgan?
329. Qulay  usul  bilan  hisoblang:
1) 
+
+
7
"

&
5
&
2
!

;     ) 
+
−
&
5
5
25
"
"
"
!
2
;  3) 
(
)
+
−
#
8
#
44
3
44
33
3
2
.
330. AB  kesma 
9
0
  dm  ga,  CD  kesma  esa 
!
"
  dm  ga  teng.  Qaysi
kesma  uzun?  Qanchaga  uzun?

#&
1. Yig‘indini  hisoblang: 
+


2
3
.
A) 
5
$
;
B) 
2
5
;
D) 

5
;
E) 

!
.
2.  Yig‘indini  hisoblang: 
+


&
2
.
A) 
5
&
;
B) 
2
&
;
D) 

5
;
E) 

2
.
3.  Ayirmani  hisoblang: 
−
2

3
2
.
A) 

6
;
B) 

3
;
D) 1;
E) 

2
.
4. Yig‘indini  toping: 
+


!
2
2

.
A) 
0
$
;
B) 
5
$
!
;
D) 
2
5
!
;
E) 
2
5
1
.
5.  Ayirmani  toping: 
−
3

#
2
2
.
A) 

0
2
;
B) 

5
2
;
D) 

0
!
;
E) 
2
!
2
.
6. Amalni  bajaring: 
−
2
7
! 1
.
A) 
#
7
1
;
B) 
2
7
2
;
D) 
#
7
2
;
E) 
2
7
4
.
7. Ifodaning  qiymatini  toping: 
− +
3


#
#
3
.
A) 

!
;
B) 

5
;
D) 

5
;
E) 

5
.
I n g l i z   t i l i n i   o ‘ r g a n a m i z !
surat – numerator
kasrlarni qisqartirish – simplifying
fractions
maxraj – denominator
umimiy maxraj – common
denominator
qo‘shish – addition
to‘g‘ri kasr – proper fraction
ayirish – subtraction
aralash son – mixed number
O‘zingizni  sinab  ko‘ring!
TEST 3

59
III  bob.  Oddiy  kasrlarni  ko‘paytirish  va  bo‘lish
14.1. Oddiy kasrlarni ko‘paytirish
Oddiy  kasrlarni  ko‘paytirish  qoida-
sini  keltirib  chiqaramiz.
M a s a l a .
  ABCD  kvadratning  to-
moni 1 dm ga teng. Tomonlari 
3
#
 dm va
2
#
  dm  bo‘lgan  AKME  to‘g‘ri  to‘rtbur-
chakning  yuzini  15- rasmdan  foydala-
nib  toping.
1 - u s u l .  Masalani  yechishdan  avval  to‘g‘ri  to‘rtburchakning
tomonlarini  o‘nli  kasrda  ifodalab  olamiz: 
!
#
  dm = 0,6  dm,
2
#
dm = 0,4  dm.  U  holda  S = 0,6 ⋅ 0,4 = 0, 4  (dm
 
).
Endi  topilgan  o‘nli  kasrni  oddiy  kasrga  aylantiramiz:
$
 
 
 
 #
 "
$

 #
, " dm
dm
dm
=
=
.
Bu  natijani  dastlab  berilgan  kasrlarni  o‘nli  kasrga  aylantir-
masdan  ham  osongina  hosil  qilish  mumkin.  Natijaning 
$
2#
  surati
berilgan  kasrlar  suratlarining  ko‘paytmasi  ! ⋅    ga,  maxraji  esa
maxrajlarining  ko‘paytmasi  5 ⋅ 5  ga  tengligi  ko‘rinib  turibdi.  Ho-
sil  bo‘lgan 
$
2#
  kasr 
3
#
  va 
2
#
  kasrlarning  ko‘paytmasiga  teng  bo‘-
ladi.  Demak, 
3 2 3 2 $
# #
# #
2#
⋅
⋅
⋅ =
=
.

" "
!
2
dm
5
 15
A
K
B
C
E
M
D
"
 
"
!
3
dm
5
!
4
! 1
4  
⋅
!
8
=
  Oddiy  kasrlarni  va  aralash  sonlarni
ko‘paytirish
40–42

60
 - u s u l . 
!  
# #
⋅
  ni  topish  uchun  bunday  muhokama  o‘tkaza-
miz.  ABCD  kvadrat   5  ta  bir  xil  kvadratchaga  bo‘lingan,  AKME
to‘g‘ri  to‘rtburchakning  yuzi  esa  shu  kvadratchalardan  6  tasiga
teng.  Shuning  uchun  uning  yuzi 
$
2#
  dm
 
  ga  teng  bo‘ladi.
Demak, 
!  
6
# #
 #
⋅ =
  (dm
 
).
Bundan  ko‘rinadiki,  surat  6  ni  hosil  qilish  uchun  !  ni     ga,
maxraj   5  ni  hosil  qilish  uchun  esa  5  ni  5  ga  ko‘paytirish  kerak
ekan. 
$
2#
  kasr  – 
3
#
  va 
2
#
  kasrlarning  ko‘paytmasi  bo‘ladi.
J a v o b : 
6
 #
  dm
 
.
Kasrni  kasrga  ko‘paytirish  uchun  shu  kasrlar:
a  suratlari  ko‘paytmasini  natijaning  suratiga  yozish  kerak;
a  maxrajlari  ko‘paytmasini  natijaning  maxrajiga  yozish  kerak.
Harflar  yordamida  bu  qoidani  quyidagicha  yozish  mumkin:
k p
k p
n q
n q
⋅
⋅
⋅ =
,  bunda  k,  n,  p,  q  –  natural  sonlar.
1- m i s o l .
 
2 "
2 "
&
3 #
3 #
#
⋅
⋅
⋅ =
=
.
  J a v o b :  
&
#
.
Agar  mumkin  bo‘lsa,  ko‘paytirishni  bajarishdan  oldin  1-ko‘-
paytuvchining  surati  va  maxrajini   -ko‘paytuvchining  maxraji
va  surati  bilan  qisqartirib  olish  ma’qul  bo‘ladi.
2- m i s o l .
 
⋅
⋅
⋅
=
=
 


#
  '
  '
 
' 3
' 3
#
.
  J a v o b :  
 
#
.
Ko‘paytuvchilardan  ba’zilari  natural  son  bo‘lsa,  ularni  max-
raji  1  bo‘lgan  kasrlar  deb  qarash  mumkin.  U  holda  kasrni  natu-
ral  songa  va  natural  sonni  kasrga  yuqoridagi  qoida  bo‘yicha
ko‘paytirish  mumkin.
3- m i s o l .
 
"
3 "
3 "
2
2
#
 #
 #
#
#
3
2
⋅
⋅
⋅ = ⋅ =
=
=
  yoki  qisqacha:
 
"
3 "
2
2
#
#
#
#
3
2
⋅
⋅ =
=
=
.
J a v o b : 
2
#
2
.
4- m i s o l .
 
 
  7
14
1
1!
1! 1
1!
1!
7
1
⋅ =
⋅ =
=
  yoki 
2
2 %
"

3
3
3
3
%

⋅
⋅ =
=
=
.

61
Natural  sonni  kasrga  va  kasrni  natural  songa  ko‘paytirish
uchun:
1- q a d a m . Natural  sonni  kasr  suratiga  ko‘paytirish  kerak.
 - q a d a m . Maxrajning  o‘zini  o‘zgarishsiz  qoldirish  kerak.
Harflar  yordamida  ushbu  qoidani  quyidagicha  yozish  mumkin:
⋅
⋅ =
k
m k
n
n
m
 yoki 
⋅
⋅
=
k
k m
n
n
m
,  bunda m, k,  n – natural sonlar.
Agar  ko‘paytuvchilardan  biri  nolga  teng  bo‘lsa,  u  holda  ko‘-
paytma  ham  nolga  teng  bo‘ladi.  Aksincha,  agar  ko‘paytma  nol-
ga  teng  bo‘lsa,  ko‘paytuvchilardan  kamida  bittasi  nolga  teng
bo‘ladi.
5- m i s o l .
 
%
%
&
&
0 0
0
⋅ = ⋅ =
.
J a v o b :  0.
6- m i s o l .
  Agar 
( )
#
$
#
0
x
⋅
−
=
  bo‘lsa,  u  holda 
#
$
0
x − =
  va
demak, 
#
6
x =
.
J a v o b : 
#
6
x =
.
14.2.  Aralash  sonlarni  ko‘paytirish
1- m i s o l .
 
!


 
!  
!  
!'
"
"
#
"
#
" #
#
#
!
 
%
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
=
.      J a v o b :  
"
#
%
.
1- q o i d a .  Aralash  sonlarni  ko‘paytirish  uchun  ularni  no-
to‘g‘ri  kasrga  aylantirish,  so‘ngra  ularni  kasrni  kasrga  ko‘-
paytirish  qoidasiga  ko‘ra  ko‘paytirish  kerak.