Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
2.1.1-ta’rif. Bizga (G, ∗) va (G1, ∗1) gruppalar berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun f (a ∗ b) = f (a) ∗1 f (b) shartni qanoatlantiruvchi f : G → G1 akslantirishga G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm deb ataladi.
55
Biz G va G1 gruppalarning birlik elementlarini mos ravishda e va e1 kabi belgilaymiz. 2.1.1-misol. Ixtiyoriy a ∈ G uchun f (a) = e1 ko‘rinishidagi akslantirish gomo- morfizm bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun f (a ∗ b) = e1 = e1 ∗1 e1 = f (a) ∗1 f (b) tenglik o‘rinli. Yuqoridagi misolda keltirilgan gomomorfizmga trivial gomomorfizm deb ataladi. Ushbu misoldan ko‘rinadiki, ixtiyoriy G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm har doim mavjud. Bundan tashqari, G gruppani o‘ziga akslantiruvchi ayniy akslantirish ham gomomorfizmga misol bo‘ladi. Endi gomomorfizmning muhim xossalarini keltirib o‘tamiz. 2.1.1-teorema. G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi f gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar o‘rinli:
ning bo‘luvchisi bo‘ladi. Isbot. 1) f gomomorfizm ekanligidan, f (e)∗1f (e) = f (e∗e) = f (e) = f (e)∗1e1 tenglikka ega bo‘lamiz. Qisqartirish qoidasiga ko‘ra f (e) = e1.
∗ Shuningdek, f (a−1) 1 f (a) = e1 tenglikni ham ko‘rsatish mumkin. Gruppadagi ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona ekanligidan f (a−1) = f (a)−1 tenglik kelib chiqadi.
f (e) = e1 xossaga ko‘ra e1 = f (e) ∈ f (H) munosabat o‘rinli. Demak, f (H) /= ∅. Ixtiyoriy f (a), f (b) ∈ f (H) elementlarni qaraymiz, bu yerda a, b ∈ H. U holda f (a) ∗1 f (b)−1 = f (a) ∗1 f (b−1) = f (a ∗ b−1) kelib chiqadi. H ≤ G bo‘lganligi uchun a ∗ b−1 ∈ H, ya’ni f (a) ∗1 f (b)−1 ∈ f (H). Demak, 1.3.1-teoremaga ko‘ra f (H) ≤ G1.
Ixtiyoriy f (a), f (b) ∈ H1 elementlar uchun f (a ∗ b−1) = f (a) ∗1 f (b−1) = f (a) ∗1 f (b)−1 ∈ H1. Demak, a ∗ b−1 ∈ f −1(H1) bo‘lib, 1.3.1-teoremaga ko‘ra f −1(H) ≤ G.
f (a) = f (g ∗ b ∗ g−1) = f (g) ∗1 f (b) ∗1 f (g−1) = f (g) ∗1 f (b) ∗1 f (g)−1 ∈ H1. Demak, a ∈ f −1(H1), bundan esa g ∗ f −1(H1) ∗ g−1 ⊆ f −1(H1) kelib chiqadi. Shunday qilib, f −1(H1) a G.
2.1.2-ta’rif. Bizga G va G1 gruppalar, hamda f : G → G1 gomomorfizm berilgan bo‘lsin.
gruppa G ning gomomorf obrazi deyiladi. Demak, gruppalarning izomorfizmi bu birinchi gruppani ikkinchi gruppaga o‘tkazuvchi biyektiv (o‘zaro bir qiymatli) gomomorfizm ekan. Agar G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi izomorfizm mavjud bo‘lsa, u holda G va G1 gruppalar o‘zaro izomorf deyilib, G ∼= G1 kabi belgilanadi. Gruppani o‘zini o‘ziga akslantiruvchi izomorfizm esa avtomorfizm deb ata- ladi. Berilgan G gruppaning barcha avtomorfizmlar to‘plamini Aut(G) kabi bel- gilanadi. 2.1.3-ta’rif. G va G1 gruppalar, hamda f : G → G1 gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda {a ∈ G | f (a) = e1} to‘plam f gomomorfizmning yadrosi deyiladi va Kerf kabi belgilanadi. 2.1.1-teoremadan ma’lumki, e ∈ Kerf, ya’ni ixtiyoriy gomomorfizmning yad- rosi bo‘sh bo‘lmagan to‘plamdan iborat bo‘ladi. 2.1.2-teorema. G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi f gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda f monomorfizm bo‘lishi uchun Kerf = {e} tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. Faraz qilaylik, f monomorfizm bo‘lsin, u holda ixtiyoriy a ∈ Kerf element uchun f (a) = e1 = f (e) tenglikka ega bo‘lamiz. Ushbu f akslantirish inyektiv bo‘lganligi uchun a = e, ya’ni Kerf = {e}. Endi Kerf = {e} tenglik o‘rinli bo‘lsin. Ixtiyoriy a va b elementlar uchun f (a) = f (b) tenglikdan f (a ∗ b−1) = f (a) ∗1 f (b−1) = f (a) ∗1 f (b)−1 = e1 kelib chiqadi. Natijada, a ∗ b−1 ∈ Kerf = {e} munosabatga ega bo‘lamiz, bu munosabat esa o‘z navbatida a ∗ b−1 = e tenglikka ekvivalent, ya’ni a = b. Demak, f monomorfizm ekan. Quyidagi teoremada birinchi gruppani ikkinchi gruppaga o‘tkazuvchi ixtiyoriy gomomorfizmning yadrosi birinchi gruppaning normal qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatamiz. 2.1.3-teorema. G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi f gomomorfizm berilgan bo‘lsin, u holda Kerf a G. Isbot. Ixtiyoriy a, b ∈ Kerf elementlar uchun f (a) ∗1 f (b−1) = f (a) ∗1 f (b)−1 = e1 ∗ (e1)−1 = e1 ∗ e1 = e1 tengliklar o‘rinli ekanligidan, a ∗ b−1 ∈ Kerf munosabat kelib chiqadi. Demak, 1.3.1-teoremaga ko‘ra Kerf to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Endi Kerf ning normal qism gruppa ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy a ∈ G va h ∈ Kerf elementlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli f (a ∗ h ∗ a−1) = f (a) ∗1 f (h) ∗1 f (a−1) = f (a) ∗1 e1 ∗1 f (a)−1 = e1. Bundan esa, a ∗ h ∗ a−1 ∈ Kerf kelib chiqadi, ya’ni aKerfa−1 ⊆ Kerf , demak Kerf normal qism gruppa. Biz 2.1.1-teoremada H qism gruppaning f gomomorfizmdagi obrazi f (H) yana qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatdik, lekin normal qism gruppa uchun bu munosabat har doim ham o‘rinli emas. Quyidagi tasdiqda normal qism gruppaning epimor- fizmdagi obrazi yana normal qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz. 2.1.1-tasdiq. Agar f : G → G1 epimorfizm berilgan bo‘lib, H a G bo‘lsa, u holda f (H) a G1 bo‘ladi. Isbot. H qism gruppa G da normal bo‘lganligi uchun, ∀h ∈ H va ∀g ∈ G elementlar uchun g ∗ h ∗ g−1 ∈ H. Ixtiyoriy h1 ∈ H1 va g1 ∈ G1 elementlarni olamiz. f gomomorfizm syurektiv bo‘lganligi uchun shunday h ∈ H va g ∈ G elementlar topilib, f (h) = h1 va f (g) = g1 bo‘ladi. Bundan esa, g1 ∗1 h1 ∗1 g1−1 = f (g) ∗1 f (h) ∗1 f (g)−1 = f (g ∗ h ∗ g−1) ∈ f (H) ekanligini hosil qilamiz. Demak, f (H) to‘plam G1 gruppaning normal qism grup- pasi. Biz o‘tgan paragrafda G gruppa va uning H normal qism gruppasi uchun G/H faktor gruppa tushunchasini kiritgan edik. Berilgan G gruppani G/H faktor gruppaga akslantiruvchi g : G → G/H akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz: g(a) = aH, ∀a ∈ G. Ushbu g akslantirish epimorfizm bo‘ladi. Chunki, g : G → G/H akslantirish aniqlanishiga ko‘ra syurektiv bo‘lib, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun g(a ∗ b) = (a ∗ b)H = (a ∗ H) ∗ (b ∗ H) = g(a) ∗ g(b). Bundan tashqari Kerg = H, chunki a ∈ Kerg ekanligi g(a) = eH tenglikka, bu esa aH = eH tenglikka ekvivalent. Oxirgi tenglik esa a ∈ H munosabatga teng kuchli ekanligidan Kerg = H kelib chiqadi. 2.1.4-ta’rif. Berilgan G gruppani G/H faktor gruppaga akslantiruvchi g(a) = aH, ∀a ∈ G ko‘rinishda aniqlangan gomomorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi. Ushbu teoremada gruppalarda aniqlangan izomorfizmning xossalarini kelti- ramiz. 2.1.4-teorema. G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi f izomorfizm berilgan bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:
−1 −1 Isbot. 1) f akslantirish biyektiv ekanligidan, f −1 ham biyektiv ekanligi kelib chiqadi. Endi, f −1 akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy u, v ∈ G1 elementlar uchun f (a) = u va f (b) = v tengliklarni qanoatlantiruvchi a, b ∈ G elementlar topiladi. Bundan esa, a = f −1(u), b = f −1(v) kelib chiqib, u ∗1 v = f (a) ∗1 f (b) = f (a ∗ b) ekanligidan, f −1(u ∗1 v) = a ∗ b = f −1(u) ∗ f −1(v) tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni f akslantirish gomomorfizm bo‘ladi. Demak, f izomorfizm ekan.
u ∗1 v = f (a) ∗1 f (b) = f (a ∗ b) = f (b ∗ a) = f (b) ∗1 f (a) = v ∗1 u. Demak, G1 ham kommutativ gruppa. Va aksincha, agar G1 kommutativ gruppa bo‘lsa, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun f (a ∗ b) = f (a) ∗1 f (b) = f (b) ∗1 f (a) = f (b ∗ a). f akslantirish o‘zaro bir qiymatli bo‘lganligi uchun a ∗ b = b ∗ a kelib chiqadi. Demak, G ham kommutativ gruppa.
uchun f (an) = (f (a))n tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Agar f (b) = e1 bo‘lsa, u holda f inyektiv bo‘lganligi uchun b = e. Demak, an = e tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun (f (a))n = e1 bo‘lishi zarur va yetarli. Faraz qilaylik, ord(a) = m va ord(f (a)) = n bo‘lsin, u holda am = e ekanligidan (f (a))m = e1 kelib chiqadi. 1.1.1-teoremaga ko‘ra n soni m ga karrali va shuningdek, (f (a))n = e1 ekanligidan m soni n ga karrali ekanligi kelib chiqadi. Demak, m = n.
ekanligidan ⟨f (a)⟩ ⊆ G1 kelib chiqadi. G1 gruppadan b element tanlab olsak, u holda f syurektiv akslantirish bo‘lgani uchun f (c) = b tenglikni qanoatlan- tiradigan c ∈ G element mavjud. G siklik gruppa ekanligini hisobga olsak, c = an tenglikni qanoatlantiruvchi n butun son mavjud. Natijada, b = f (c) = f (an) = (f (a))n ∈ ⟨f (a)⟩. Demak, G1 = ⟨f (a)⟩, ya’ni siklik gruppa. f −1 akslantirishning ham izomor- fizmligidan va G1 gruppaning siklik ekanligidan G gruppaning ham siklik gruppa bo‘lishi kelib chiqadi. Quyidagi teoremada siklik gruppalarning to‘liq tasnifini keltiramiz. 2.1.5-teorema. Tartibi n ga teng bo‘lgan ixtiyoriy siklik gruppa (Zn, +n) grup- paga, ixtiyoriy cheksiz siklik gruppa esa (Z, +) gruppaga izomorf. Isbot. Aytaylik, (G, ∗) tartibi n ga teng bo‘lgan siklik gruppa bo‘lsin, ya’ni G = ⟨a⟩. Quyidagi f : G → Zn, f (ai) = i, ∀ i = 0, 1, . . . , n − 1 akslantirishni qaraymiz. Ma’lumki, bu akslantirish syurektiv bo‘ladi. Bundan tashqari, uning inyektiv ekanligi quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi: f (ai) = f (aj) ⇒ i = j ⇒ n | (j − i) ⇒ ai−j = e ⇒ ai = aj. Demak, f o‘zaro bir qiymatli akslantirish ekan. Endi bu akslantirishning izomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz: f (ai ∗ aj) = f (ai+j) = i + j = i +n j = f (ai) +n f (aj). Demak, G ∼= Zn. i Agar G = ⟨a⟩ cheksiz gruppa bo‘lsa, u holda f : G → Z akslantirishni ∀i ∈ Z uchun f (a ) = i, ko‘rinishda aniqlaymiz. Bu akslantirish ham o‘zaro bir qiymatli bo‘lib, f (ai ∗ aj) = f (ai+j) = i + j = f (ai) + f (aj) ekanligidan uning izomorfizmligi kelib chiqadi, ya’ni G ∼= Z. Yuqoridagi teoremadan ushbu natijaga ega bo‘lamiz. 2.1.1-natija. Bir xil tartibli ikkita siklik gruppa o‘zaro izomorf. Endi ixtiyoriy chekli gruppa Sn o‘rin almashtirishlar gruppasining biror qism gruppasiga izomorf bo‘lishi haqidagi Keli teoremasini keltiramiz. Berilgan G gruppaning ixtiyoriy a ∈ G elementi uchun quyidagi fa : G → G, fa(b) = a ∗ b, ∀ b ∈ G akslantirishni aniqlaymiz. Ushbu akslantirish biyektiv akslantirish bo‘ladi, chunki, fa(b) = fa(c) tenglikdan a∗b = a∗c, bundan esa b = c tenglikning kelib chiqishi bu akslantirishning inyektiv ekanligini, ixtiyoriy b ∈ G element uchun fa(x) = b teng- likni qanoatlantiradigan x = a−1∗b elementning mavjudligi esa fa akslantirishning syurektiv ekanligini anglatadi. Demak, fa akslantirishni G to‘plamdagi o‘rin almashtirish deb qarash mumkin. Ma’lumki, ixtiyoriy G to‘plamdagi barcha o‘rin almashtirishlar to‘plami S(G) superpozitsiya amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ushbu (S(G), ◦) grup- paning F (G) = {fa| a ∈ G} qism to‘plamini qaraymiz. Quyidagi teoremada F (G) to‘plamning qism gruppa bo‘lishini va uning G gruppaga izomorf ekanligini ko‘rsatamiz. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling