Abstrakt algebra

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   S₄ gruppaning quyidagi elementlari uchun C(a) sentralizatorni aniqlang:
   

a = (1 2), a = (1 2) ◦ (3 4), a = (1 2 3 4).

2. 
   Quyidagi gruppalarning markazlarini toping:
   

S₃, A₄, S₄, GL_n(R), SL_n(R).

3. 
   Z(S_n) = {e} ekanligini isbotlang.
   
4. 
   Agar G/Z(G) faktor gruppa siklik bo‘lsa, u holda G gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
   
5. 
   Agar H a G va |H| = 2 bo‘lsa, u holda H ⊆ Z(G) bo‘lishini isbotlang.
   
6. 
   Quyidagilarni isbotlang:
   
   • 
     [S₂, S₂] = {e}.
     
   • 
     [A₃, A₃] = {e}.
     
   • 
     [A₄, A₄] = {e, (1 2) ◦ (3 4), (1 4) ◦ (3 2), (1 3) ◦ (2 4)}.
     
   • 
     [S_n, S_n] = A_n.
     
   • 
     [A_n, A_n] = A_n, n ≥ 5;
     
   • 
     [GL_n(R), GL_n(R)] = SL_n(R).
     
   • 
     [SL_n(R), SL_n(R)] = SL_n(R).
     
7. 
   S₃ gruppaning barcha elementlari uchun [[x, y], z] = e tenglik bajariladimi?
   
8. 
   Agar gruppada [[x, y], z] = e ayniyat bajarilsa, u holda [x, yz] = [x, y][x, z] va [xy, z] = [x, z][y, z] ayniyatlar o‘rinli ekanligini isbotlang.
   

BOB 2

Gruppaning morfizmlari. Izomorfizm haqidagi teoremalar

Ma’lumki, izomorfizm tushunchasi algebraik sistemalarning, xususan gruppalar- ning asosiy tushunchalaridan hisoblanadi. Chiziqli algebra kursida chiziqli fazolar uchun izomorfizm tushunchasi aniqlangan bo‘lib, bir xil o‘lchamli barcha chiziqli fazolarning izomorf ekanligi isbotlangan. Ya’ni bir xil o‘lchamli chiziqli fazolar bir xil strukturaga ega bo‘ladi. Gruppalar uchun ham izomorfizm tushunchasini kiritilishi, ularni xususiyatlarini o‘rganish va tasniflash imkonini beradi. Bundan tashqari, gruppalarning morfizmlari deb ataluvchi gomomorfizm, epimorfizm va monomorfizm tushunchalari yordamida murakkab xususiyatga ega bo‘lgan grup- palarni soddaroq gruppalar yordamida o‘rganishga olib kelinadi.

1. Gruppaning gomomorfizmi va izomorfizmi. Keli teo- remasi

Biz avvalgi mavzularda o‘rgangan bir qancha gruppalar bir xil strukturaga ega bo‘lishini ko‘rish mumkin. Masalan, 4-tartibli Kleyn gruppasi K₄ = {e, a, b, ab} bilan S₄ gruppaning G = {e, (1 2) ◦ (3 4), (1 4) ◦ (3 2), (1 3) ◦ (2 4)} qism gruppasi bir xil strukturaga ega. Tartibi bir xil bo‘lmagan gruppalarni har xil strukturaga ega ekanligi tushunarli. Lekin bir xil tartibli gruppalar ham turli strukturaga ega bo‘lishi mumkin. Masalan, (Z₄, +) va K₄ gruppalari bir xil tartibli bo‘lishiga qaramasdan ular turli strukturalarga ega. Chunki, Z₄ gruppa siklik bo‘lib, K₄ gruppa siklik emas. Demak, gruppalarni farqlash uchun qandaydir umumiy tushuncha kiritish talab qilinadi. Izomorfizm tushunchasi aynan shunday tushuncha hisoblanib, u orqali gruppalarning tasniflari keltiriladi va xususiyatlari o‘rganiladi. Biz dastlab gomomorfizm tushunchasini kiritamiz.