Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.4.1-ta’rif.
- 2.4.2-ta’rif.
2.4.1-teorema. Aytaylik, G1, G2, . . . , Gn gruppalar berilgan bo‘lib, G ularning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi bo‘lsin. Hi = {(e1, e2, . . . , ei−1, ai, ei+1, . . . , en) | ai ∈ Gi} to‘plamlar uchun quyidagilar o‘rinli:
3) G = H1 ∗ H2 ∗ · · · ∗ Hn. 4) Hi ∩ (H1 ∗ · · · ∗ Hi−1 ∗ Hi+1 ∗ · · · ∗ Hn) = {e}. Isbot. 1) Aytaylik, a = (e1, . . . , ai, . . . , en), b = (e1, . . . , bi, . . . , en) ∈ Hi bo‘lsin, u holda a ∗ b−1 = (e1, . . . , ai, . . . , en) ∗ (e1, . . . , bi, . . . , en)−1 = (e1, . . . , ai, . . . , en) ∗ (e1, . . . , bi−1, . . . , en) = (e1, . . . , ai · bi−1, . . . , en) ∈ Hi. Bundan esa, Hi to‘plam G gruppaning qism gruppasi ekanligi kelib chiqadi. Endi uning normal qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy g = (g1, g2, . . . , gn) ∈ G element uchun g ∗ a ∗ g−1 = (g1, g2, . . . , gn) ∗ (e1, . . . , ai, . . . , en) ∗ (g1, g2, . . . , gn)−1 = (g1, . . . , gi · ai, . . . , gn) ∗ (g1−1, g2−1, . . . , gn−1) = (e1, . . . , gi · ai · gi−1, . . . , en) ∈ Hi. Demak, Hi normal qism gruppa.
a = (a1, a2 . . . , an) = k1 ∗ k2 ∗ · · · ∗ kn = (b1, b2, . . . , bn) bo‘ladi. Bundan esa, ai = bi, ya’ni hi = ki ekanligi kelib chiqadi.
a ∈ Hi va a ∈ H1 ∗ · · · ∗ Hi−1 ∗ Hi+1 ∗ · · · ∗ Hn. Demak, birinchi tomondan a = (e1, . . . , ai, . . . , en), ikkinchi tomondan esa ushbu a element h1, . . . , hi, hi+1, . . . , hn elementlarning ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalanadi, bu yerda ai ∈ Gi va hj ∈ Hj, ya’ni hj = (e1, . . . , bj, . . . , en). Demak, a = (e1, . . . , ai, . . . , en) = hi ∗ . . . hi−1 ∗ hi+1 ∗· · · ∗ hn = (b1, . . . , bi−1, ei, bi+1, . . . , bn). Bundan esa, ai = ei va bj = ej ekanligi kelib chiqadi, ya’ni Hi ∩ (H1 ∗ · · · ∗ Hi−1 ∗ Hi+1 ∗ · · · ∗ Hn) = {e}. Endi gruppada normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi tushun- chasini kiritamiz. Ichki to‘g‘ri ko‘paytma tushunchasini kiritishga yuqoridagi teo- remada G gruppaning kesishmalari birlik elementlardan iborat bo‘lgan Hi normal qism gruppalarning ko‘paytmasi ko‘rininshda ifodalanishi asosiy turtki bo‘lgan deyish mumkin. 2.4.1-ta’rif. Agar G gruppada H va K normal qism gruppalar berilgan bo‘lib, G = H · K va H ∩ K = {e} bo‘lsa, u holda G gruppa ushbu normal qism grup- palarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi. Ta’kidlash joizki, agar gruppaning ixtiyoriy H va K normal qism gruppalari uchun H ∩ K = {e} shart o‘rinli bo‘lsa, u holda ∀h ∈ H va ∀k ∈ K uchun h · k = k · h bo‘ladi. Haqiqatdan ham, H va K larning normalligidan foydalansak, (k−1 · h · k) · h−1 = k−1 · (h · k · h−1) element H ∩ K gruppaga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, (k−1 · h · k) · h−1 = e, bundan esa h · k = k · h hosil bo‘ladi. Bundan tashqari, G gruppa H va K normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, ixtiyoriy g ∈ G elementni yagona ravishda g = h · k, h ∈ H, k ∈ K ko‘rinishida ifodalash mumkin. Ushbu ifodaning mavjudligi ta’rifdan bevosita kelib chiqsa, uning yagonaligi esa quyidagi mulo- hazalardan kelib chiqadi. Faraz qilaylik, g = h · k = h1 · k1, h, h1 ∈ H, k, k1 ∈ K bo‘lsin, u holda h−1 1 · h, k1−1 · k ∈ H ∩ K = {e} ekanligidan h1 = h va k1 = k kelib chiqadi. Ushbu mulohazalardan foydalanib, G gruppa o‘zining bir nechta H1, H2, . . . , Hn normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shakl- idagi yoyilishi ta’rifini quyidagicha kiritamiz. 2.4.2-ta’rif. Agar G gruppaning ixtiyoriy g ∈ G elementini hi ∈ Hi(Hi a G) ele- mentlarning ko‘paytmasi ko‘rinishida g = h1·h2· . . . ·hn yagona ravishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda G gruppa H1, H2, . . . , Hn normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi. T Ta’kidlash joizki, G gruppa H1, H2, . . . , Hn normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanishi uchun G = N1 · N2 · . . . · Nn va Ni (N1 . . . Ni−1Ni+1 . . . Nn) = {e} bo‘lishi zarur va yetarli. Endi tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalar orasidagi bog‘lanishni kelti- ramiz. Agar G gruppa H1, H2, . . . , Hn normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda G gruppani ushbu normal qism grup- palarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi sifatida qarash mumkin. Ya’ni quyidagi teo- rema o‘rinli. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling