Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.3.7-teorema (Moslik teoremasi ).
- 2.3.1-natija.
- 2.3.1-misol.
- 2.3.1-ta’rif.
- 2.3.1-tasdiq.
- 2.3.8-teorema.
- 2.3.9-teorema.
2.3.6-teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). G gruppa va uning
H1, H2 (H1 ⊆ H2) normal qism gruppalari berilgan bo‘lsin. U holda (G/H1)/(H2/H1) ∼= G/H2. Isbot. 2.3.5-teorema shartidagi G1, H va G1/f (H) gruppalar o‘rniga mos rav- ishda G/H1, H2 va (G/H1)/(H2/H1) gruppalarni qo‘yib, f sifatida f : G → G/H1 tabiiy gomomorfizmni qarasak, f (H2) = H2/H1 tenglik o‘rinli bo‘lib, teoremaning isboti kelib chiqadi, ya’ni Aytaylik, G gruppani G1 guppaga akslantiruvchi f epimorfizm berilgan bo‘lsin. G gruppaning ushbu gomomorfizm yadrosini o‘z ichiga oluvchi barcha qism grup- palari oilasini Ω(G, Kerf ) kabi, G1 gruppaning barcha qism gruppalari oilasini esa Ω(G1) kabi belgilaymiz. 2.3.7-teorema (Moslik teoremasi). Agar G gruppani G1 guppaga akslanti- ruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsa, u holda ushbu epimorfizm yordamida o‘zaro bir qiymatli f ∗ : Ω(G, Kerf ) → Ω(G1) moslik o‘rnatish mumkin. Bundan tashqari, ushbu f ∗(H) = K moslikda H a G bo‘lishi uchun K a G1 bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. f ∗ : Ω(G, Kerf ) → Ω(G1) akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz: ∀H ∈ Ω(G, Kerf ) uchun f ∗(H) = {f (h) | h ∈ H}. ∈ Dastlab, ushbu akslantirishning syurektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, K ∈ Ω(G1) bo‘lsin. Ushbu K qism gruppaning proobrazi f −1(K) ni H orqali belgilaylik. Ma’lumki, H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, u Kerf ni o‘z ichiga oladi, ya’ni H Ω(G, Kerf ). Bundan tashqari, f ∗(H) = K ekan- ligidan, f ∗ akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi. Endi ushbu akslantirish- ning inyektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, H1, H2 ∈ Ω(G, Kerf ) bo‘lib f ∗(H1) = f ∗(H2) bo‘lsin. U holda ixtiyoriy h ∈ H1 uchun shunday h2 ∈ H2 element topilib, f (h1) = f (h2) bo‘ladi. Bundan esa, f (h1 · h−2 1) = e1 ekanligi, ya’ni h1 · h2−1 ∈ Kerf ⊆ H2 kelib chiqadi. h1 = (h1 · h2−1) · h2 ∈ H2 ekanligidan esa H1 ⊆ H2 munosabatga ega bo‘lamiz. Xuddi shunday, H2 ⊆ H1 munosabatni ham hosil qilish mumkin. Demak, H1 = H2, ya’ni f ∗ o‘zaro bir qiymatli akslantirish. Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz. Aytaylik, f ∗(H) = K bo‘lib, H a G bo‘lsin. U holda a ∈ G va h ∈ K elementlar uchun a · h · a−1 ∈ H bo‘ladi. Ya’ni f (a) ∈ G1 va f (h) ∈ K elementlar uchun f (a) · f (h) · f (a)−1 = f (a · h · a−1) ∈ K. Demak, K to‘plam G1 gruppaning normal qism gruppasi. Va aksincha, agar K ∈ Ω(G1) bo‘lsa, u ixtiyoriy a ∈ G va h ∈ K elementlar uchun f (a · h · a−1) = f (a) · f (h) · f (a)−1 ∈ K, ya’ni a · h · a−1 ∈ H. Demak, H a G. Yuqoridagi teoremada G1 gruppa o‘rniga G gruppaning biror normal qism gruppasi N bo‘yicha G/N faktor gruppasini olib, g : G → G/N tabiiy gomomor- fizmni qarasak, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz. 2.3.1-natija. G/N faktor gruppaning barcha qism gruppalari K/N ko‘rinishida bo‘ladi, bu yerda N ⊆ K va K ≤ G. Bundan tashqari, K/N a G/N bo‘lishi uchun K a G bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. Aytaylik, g : G → G/N tabiiy gomomorfizm bo‘lsin, ya’ni a ∈ G uchun g(a) = aN. U holda Kerg = N bo‘lib, 2.3.7-teoremaga ko‘ra G gruppaning N qism gruppasini o‘z ichiga oluvchi qism gruppalar oilasi bilan G/N to‘plamning qism gruppalari oilasi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli g∗ moslik mavjud. Ya’ni ixtiyoriy K ⊆ G/N qism gruppa uchun H ⊆ G, qism gruppa topilib, K = g∗(H) = {g(a) | a ∈ K} = K/N. Teoremaning ikkinchi qismi esa 2.3.7-teoremadan to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi. Quyidagi misolda moslik teoremasining izohini keltiramiz. 2.3.1-misol. Aytaylik, (Z, +) va (Z12, +12) gruppalar berilgan bo‘lib, f : Z → Z12 epimorfizm f (n) = n kabi aniqlangan bo‘lsin. U holda Kerf = ⟨12⟩ bo‘lib, Ω(Z, Kerf ) = {⟨12⟩, ⟨6⟩, ⟨4⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩, Z}, va Ω(Z12) = {⟨0⟩, ⟨6⟩, ⟨4⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩, Z} bo‘ladi. f ∗ : Ω(Z, Kerf ) → Ω(Z12) akslantirish esa, quyidagicha aniqlanadi: f ∗(⟨12⟩) = ⟨0⟩, f ∗(⟨3⟩) = ⟨3⟩, f ∗(⟨2⟩) = ⟨2⟩, f ∗(⟨6⟩) = ⟨6⟩, f ∗(⟨4⟩) = ⟨4⟩, f ∗(Z) = Z12. Endi biz G gruppani o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi izomorfizmlarni, ya’ni avtomor- fizmlarni qaraymiz. Ma’lumki, avtomorfizmlar to‘plami Aut(G) kabi belgilanib, unda superpozitsiya amali binar amal bo‘ladi. Bundan tashqari, ∀f, g, h ∈ Aut(G) uchun (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) tenglik o‘rinli, ya’ni superpozitsiya amali uchun assosiativlik bajariladi. Ayniy akslantirish iG ∈ Aut(G) esa birlik element vazifasini bajarsa, ∀f ∈ Aut(G) uchun f −1 avtomorfizm teskari element bo‘ladi. Demak, (Aut(G), ◦) gruppa bo‘lar ekan. Endi ushbu avtomorfizmlar gruppasining qism gruppasi bo‘ladigan ichki avto- morfizmlar tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun θa : G → G akslantirishni θa(b) = a · b · a−1, ∀b ∈ G kabi aniqlaymiz. Ta’kidlash joizki, ushbu θa akslantirish avtomorfizm bo‘ladi. Haqiqatdan ham, θa(c ·d) = a ·(c ·d)·a−1 = (a ·c ·a−1)·(a ·d ·a−1) = θa(c)◦ θa(d) tenglikdan uning gomomorfizm ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy c ∈ G uchun c = θa(a−1 · c · a) tenglikdan θa akslantirishning syurektiv ekanligi, θa(c) = θa(d) ⇒ a · c · a−1 = a · d · a−1 ⇒ c = d munosabatdan esa, inyektivligi kelib chiqadi. Demak, θa ∈ Aut(G). 2.3.1-ta’rif. θa ko‘rinishidagi avtomorfizmga ichki avtomorfizm deyiladi. G gruppaning barcha ichki avtomorfizmlar to‘plami Inn(G) kabi belgilanadi. 2.3.1-tasdiq. Ichki avtomorfizmlar quyidagi xossalarga ega: 1) θa ◦ θb = θa·b; 2) (θa)−1 = θa−1 ;
Isbot. 1) Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun (θa ◦ θb)(c) = θa(θb(c)) = θa(b · c · b−1) = a · (b · c · b−1) · a−1 = (a · b) · c · (a · b)−1 = θa·b(c). Demak, θa ◦ θb = θab.
(ϕ ◦ θa ◦ ϕ−1)(b) = ϕ(θa(ϕ−1(b))) = ϕ(a · ϕ−1(b) · a−1) = ϕ(a) · ϕ(ϕ−1(b)) · ϕ(a−1) = ϕ(a) · b · (ϕ(a))−1 = θϕ(a)(b). Demak, ϕ ◦ θa ◦ ϕ−1 = θϕ(a). 2.3.8-teorema. G gruppaning Inn(G) ichki avtomorfizmlari Aut(G) avtomor- fizmlar gruppasining normal qism gruppasi bo‘ladi, ya’ni Inn(G) a Aut(G). Isbot. Ayniy akslantirish uchun iG = θe ekanligidan iG ∈ Inn(G) kelib b chiqadi. Ixtiyoriy θa, θb ∈ Inn(G) uchun θa ◦ θ−1 = θa ◦ θb−1 = θa·b−1 ∈ Inn(G) bo‘lganligi uchun Inn(G) qism gruppa bo‘ladi. Va nihoyat, ∀ϕ ∈ Aut(G) uchun ϕ ◦ θa ◦ ϕ−1 = θϕ(a) ∈ Inn(G) ekanligidan Inn(G) a Aut(G) kelib chiqadi. Ta’kidlash joizki, G gruppaning markazi Z(G) normal qism gruppa bo‘lib, G/Z(G) faktor gruppa esa G gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasiga izomorf bo‘ladi. Ya’ni quyidagi teorema o‘rinli. 2.3.9-teorema. G gruppa berilgan bo‘lib, Z(G) uning markazi bo‘lsin. U holda G/Z(G) ∼= Inn(G). Isbot. G gruppadan Inn(G) gruppaga f : G → Inn(G) akslantirishni quyi- dagicha aniqlaymiz f (a) = θa, ∀a ∈ G. Ma’lumki, ushbu akslantirish syurektiv bo‘lib, u gomomorfizm bo‘ladi. Haqiqat- dan ham, ixtiyoriy a1, a2 ∈ G uchun f (a1 · a2) = θa1·a2 = θa1 ◦ θa2 = f (a1) ◦ f (a2). Endi ushbu gomomorfizmning yadrosini topamiz: Kerf = {a ∈ G | f (a) = iG} = {a ∈ G | θa = iG} = {a ∈ G | θa(b) = iG(b), ∀b ∈ G} = {a ∈ G | a · b · a−1 = b, ∀b ∈ G} = {a ∈ G | a · b = b · a, ∀b ∈ G} = Z(G). Demak, Kerf = Z(G) bo‘lar ekan. U holda izomorfizm haqidagi birinchi teoremaga ko‘ra G/Z(G) ∼= Inn(G) kelib chiqadi. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling