Abstrakt algebra

2.3.6-teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). G gruppa va uning
H₁, H₂ (H₁ ⊆ H₂) normal qism gruppalari berilgan bo‘lsin. U holda
^{(G/H1)/(H2/H1) ∼}= ^G/H2.

Isbot. 2.3.5-teorema shartidagi G₁, H va G₁/f (H) gruppalar o‘rniga mos rav- ishda G/H₁, H₂ va (G/H₁)/(H₂/H₁) gruppalarni qo‘yib, f sifatida f : G → G/H₁ tabiiy gomomorfizmni qarasak, f (H₂) = H₂/H₁ tenglik o‘rinli bo‘lib, teoremaning isboti kelib chiqadi, ya’ni

Aytaylik, G gruppani G₁ guppaga akslantiruvchi f epimorfizm berilgan bo‘lsin. G gruppaning ushbu gomomorfizm yadrosini o‘z ichiga oluvchi barcha qism grup- palari oilasini Ω(G, Kerf ) kabi, G₁ gruppaning barcha qism gruppalari oilasini esa Ω(G₁) kabi belgilaymiz.

2.3.7-teorema (Moslik teoremasi). Agar G gruppani G₁ guppaga akslanti- ruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsa, u holda ushbu epimorfizm yordamida o‘zaro bir qiymatli f ^∗ : Ω(G, Kerf ) → Ω(G₁) moslik o‘rnatish mumkin. Bundan tashqari, ushbu f ^∗(H) = K moslikda H a G bo‘lishi uchun K a G₁ bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. f ^∗ : Ω(G, Kerf ) → Ω(G₁) akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz:
∀H ∈ Ω(G, Kerf ) uchun f ^∗(H) = {f (h) | h ∈ H}.

∈
Dastlab, ushbu akslantirishning syurektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, K ∈ Ω(G₁) bo‘lsin. Ushbu K qism gruppaning proobrazi f ⁻¹(K) ni H orqali belgilaylik. Ma’lumki, H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, u Kerf ni o‘z ichiga oladi, ya’ni H Ω(G, Kerf ). Bundan tashqari, f ^∗(H) = K ekan- ligidan, f ^∗ akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi. Endi ushbu akslantirish- ning inyektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, H₁, H₂ ∈ Ω(G, Kerf ) bo‘lib f ^∗(H₁) = f ^∗(H₂) bo‘lsin. U holda ixtiyoriy h ∈ H₁ uchun shunday h₂ ∈ H₂ element topilib, f (h₁) = f (h₂) bo‘ladi. Bundan esa, f (h₁ · h⁻₂ ¹) = e₁ ekanligi,
ya’ni h₁ · h₂⁻¹ ∈ Kerf ⊆ H₂ kelib chiqadi. h₁ = (h₁ · h₂⁻¹) · h₂ ∈ H₂ ekanligidan esa
H₁ ⊆ H₂ munosabatga ega bo‘lamiz. Xuddi shunday, H₂ ⊆ H₁ munosabatni ham
hosil qilish mumkin. Demak, H₁ = H₂, ya’ni f ^∗ o‘zaro bir qiymatli akslantirish. Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz. Aytaylik, f ^∗(H) = K bo‘lib,
H a G bo‘lsin. U holda a ∈ G va h ∈ K elementlar uchun a · h · a⁻¹ ∈ H bo‘ladi.
Ya’ni f (a) ∈ G₁ va f (h) ∈ K elementlar uchun
f (a) · f (h) · f (a)⁻¹ = f (a · h · a⁻¹) ∈ K.

Demak, K to‘plam G₁ gruppaning normal qism gruppasi.

Va aksincha, agar K ∈ Ω(G₁) bo‘lsa, u ixtiyoriy a ∈ G va h ∈ K elementlar uchun f (a · h · a⁻¹) = f (a) · f (h) · f (a)⁻¹ ∈ K, ya’ni a · h · a⁻¹ ∈ H. Demak, H a G.
Yuqoridagi teoremada G₁ gruppa o‘rniga G gruppaning biror normal qism gruppasi N bo‘yicha G/N faktor gruppasini olib, g : G → G/N tabiiy gomomor- fizmni qarasak, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
2.3.1-natija. G/N faktor gruppaning barcha qism gruppalari K/N ko‘rinishida bo‘ladi, bu yerda N ⊆ K va K ≤ G. Bundan tashqari, K/N a G/N bo‘lishi uchun K a G bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, g : G → G/N tabiiy gomomorfizm bo‘lsin, ya’ni a ∈ G uchun g(a) = aN. U holda Kerg = N bo‘lib, 2.3.7-teoremaga ko‘ra G gruppaning N qism gruppasini o‘z ichiga oluvchi qism gruppalar oilasi bilan G/N to‘plamning qism gruppalari oilasi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli g^∗ moslik mavjud. Ya’ni ixtiyoriy K ⊆ G/N qism gruppa uchun H ⊆ G, qism gruppa topilib,
K = g^∗(H) = {g(a) | a ∈ K} = K/N.

Teoremaning ikkinchi qismi esa 2.3.7-teoremadan to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi.
Quyidagi misolda moslik teoremasining izohini keltiramiz.
2.3.1-misol. Aytaylik, (Z, +) va (Z₁₂, +₁₂) gruppalar berilgan bo‘lib, f : Z → Z₁₂
epimorfizm f (n) = n kabi aniqlangan bo‘lsin. U holda Kerf = ⟨12⟩ bo‘lib,
Ω(Z, Kerf ) = {⟨12⟩, ⟨6⟩, ⟨4⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩, Z},


va
Ω(Z₁₂) = {⟨0⟩, ⟨6⟩, ⟨4⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩, Z}
bo‘ladi. f ^∗ : Ω(Z, Kerf ) → Ω(Z₁₂) akslantirish esa, quyidagicha aniqlanadi:
f ^∗(⟨12⟩) = ⟨0⟩, f ^∗(⟨3⟩) = ⟨3⟩,
f ^∗(⟨2⟩) = ⟨2⟩, f ^∗(⟨6⟩) = ⟨6⟩, f ^∗(⟨4⟩) = ⟨4⟩, f ^∗(Z) = Z₁₂.
Endi biz G gruppani o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi izomorfizmlarni, ya’ni avtomor- fizmlarni qaraymiz. Ma’lumki, avtomorfizmlar to‘plami Aut(G) kabi belgilanib, unda superpozitsiya amali binar amal bo‘ladi. Bundan tashqari, ∀f, g, h ∈ Aut(G) uchun
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)

tenglik o‘rinli, ya’ni superpozitsiya amali uchun assosiativlik bajariladi. Ayniy akslantirish i_G ∈ Aut(G) esa birlik element vazifasini bajarsa, ∀f ∈ Aut(G) uchun f ⁻¹ avtomorfizm teskari element bo‘ladi. Demak, (Aut(G), ◦) gruppa bo‘lar ekan. Endi ushbu avtomorfizmlar gruppasining qism gruppasi bo‘ladigan ichki avto- morfizmlar tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun θ_a : G → G

akslantirishni
θ_a(b) = a · b · a⁻¹, ∀b ∈ G
kabi aniqlaymiz. Ta’kidlash joizki, ushbu θ_a akslantirish avtomorfizm bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, θ_a(c ·d) = a ·(c ·d)·a⁻¹ = (a ·c ·a⁻¹)·(a ·d ·a⁻¹) = θ_a(c)◦ θ_a(d) tenglikdan uning gomomorfizm ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy c ∈ G uchun c = θ_a(a⁻¹ · c · a) tenglikdan θ_a akslantirishning syurektiv ekanligi,
θ_a(c) = θ_a(d) ⇒ a · c · a⁻¹ = a · d · a⁻¹ ⇒ c = d
munosabatdan esa, inyektivligi kelib chiqadi. Demak, θ_a ∈ Aut(G).
2.3.1-ta’rif. θ_a ko‘rinishidagi avtomorfizmga ichki avtomorfizm deyiladi. G
gruppaning barcha ichki avtomorfizmlar to‘plami Inn(G) kabi belgilanadi.
2.3.1-tasdiq. Ichki avtomorfizmlar quyidagi xossalarga ega:
1) θ_a ◦ θ_b = θ_a·b; 2) (θ_a)⁻¹ = θ_a⁻¹ ;

3. 
   ixtiyoriy ϕ ∈ Aut(G) uchun ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹ = θ_ϕ(a).
   

Isbot. 1) Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun
(θ_a ◦ θ_b)(c) = θ_a(θ_b(c)) = θ_a(b · c · b⁻¹)
= a · (b · c · b⁻¹) · a⁻¹ = (a · b) · c · (a · b)⁻¹ = θ_a·b(c).
Demak, θ_a ◦ θ_b = θ_ab.

2. 
   θ_a ◦ θ_a⁻¹ = θ_a·a⁻¹ = θ_e = i_G va θ_a⁻¹ ◦ θ_a = θ_a⁻¹_·a = θ_e = i_G ekanligidan (θ_a)⁻¹ = θ_a⁻¹ kelib chiqadi.
   
3. 
   Ixtiyoriy ϕ ∈ Aut(G) uchun
   

(ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹)(b) = ϕ(θ_a(ϕ⁻¹(b))) = ϕ(a · ϕ⁻¹(b) · a⁻¹)
= ϕ(a) · ϕ(ϕ⁻¹(b)) · ϕ(a⁻¹) = ϕ(a) · b · (ϕ(a))⁻¹ = θ_ϕ(a)(b).
Demak, ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹ = θ_ϕ(a).
2.3.8-teorema. G gruppaning Inn(G) ichki avtomorfizmlari Aut(G) avtomor- fizmlar gruppasining normal qism gruppasi bo‘ladi, ya’ni Inn(G) a Aut(G).


Isbot. Ayniy akslantirish uchun i_G = θ_e ekanligidan i_G ∈ Inn(G) kelib

b
chiqadi. Ixtiyoriy θ_a, θ_b ∈ Inn(G) uchun θ_a ◦ θ⁻¹ = θ_a ◦ θ_b⁻¹ = θ_a·b⁻¹ ∈ Inn(G)
bo‘lganligi uchun Inn(G) qism gruppa bo‘ladi. Va nihoyat, ∀ϕ ∈ Aut(G) uchun
ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹ = θ_ϕ(a) ∈ Inn(G) ekanligidan Inn(G) a Aut(G) kelib chiqadi.
Ta’kidlash joizki, G gruppaning markazi Z(G) normal qism gruppa bo‘lib, G/Z(G) faktor gruppa esa G gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasiga izomorf bo‘ladi. Ya’ni quyidagi teorema o‘rinli.
2.3.9-teorema. G gruppa berilgan bo‘lib, Z(G) uning markazi bo‘lsin. U holda
^{G/Z(G) ∼}= ^Inn(G).
Isbot. G gruppadan Inn(G) gruppaga f : G → Inn(G) akslantirishni quyi- dagicha aniqlaymiz
f (a) = θ_a, ∀a ∈ G.
Ma’lumki, ushbu akslantirish syurektiv bo‘lib, u gomomorfizm bo‘ladi. Haqiqat- dan ham, ixtiyoriy a₁, a₂ ∈ G uchun
f (a₁ · a₂) = θ_a1·a2 = θ_a1 ◦ θ_a2 = f (a₁) ◦ f (a₂).
Endi ushbu gomomorfizmning yadrosini topamiz:
Kerf = {a ∈ G | f (a) = i_G}
= {a ∈ G | θ_a = i_G}
= {a ∈ G | θ_a(b) = i_G(b), ∀b ∈ G}
= {a ∈ G | a · b · a⁻¹ = b, ∀b ∈ G}
= {a ∈ G | a · b = b · a, ∀b ∈ G}
= Z(G).


Demak, Kerf = Z(G) bo‘lar ekan. U holda izomorfizm haqidagi birinchi ^{teoremaga ko‘ra G/Z(G) ∼}= ^{Inn(G) kelib chiqadi.}