Abstrakt algebra
Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar
Download 0.99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Izomorfizm haqidagi teoremalar
Mustaqil ishlash uchun misol va masalalarD3 diedr gruppasini S3 gruppaga o‘tkazuvchi barcha izomorfizmlarni toping. Q8 gruppaning markazini toping. GL4(R) – to‘rtinchi tartibli teskarilanuvchu matritsalar gruppasining Q8 gruppaga izomorf qism gruppasini toping. G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi barcha gomomorfizmlarni toping: G = Z4, G1 = K4. G = K4, G1 = Z4. G = S3, G1 = Z6. G = Z6, G1 = S3. G = Z8, G1 = D4. G = Z8, G1 = Q8. G = Q8, G1 = D4. G = D4, G1 = Q8. G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi barcha epimorfizmlarni toping: G = D4, G1 = K4. G = Q8, G1 = Z4. G = Q8, G1 = Z2. G = D4, G1 = Z2. Izomorfizm haqidagi teoremalarUshbu mavzuda gruppalarning izomorfizmlari bilan bo‘g‘liq bo‘lgan, izomorfizm va moslik teoremalari deb nomlanuvchi natijalarni keltiramiz. Ushbu teoremalar gruppaning gomomorfizmlari va faktor gruppalar orasidagi bo‘glanishlarni ifo- dalovchi teoremalar hisoblanadi. 2.3.1-teorema. Bizga G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi f : G → G1 epi- morfizm berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning H normal qism gruppasi uchun H ⊆ Kerf munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda g : G → G/H syurektiv tabiiy go- momorfizm uchun f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : G/H → G1 epimorfizm mavjud. Shuningdek, h inyektiv bo‘lishi uchun H = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. h : G/H → G1 akslantirishni ixtiyoriy aH ∈ G/H uchun h(aH) = f (a) ko‘rinishida aniqlaymiz. Dastlab, bu akslantirishning to‘g‘ri aniqlangan ekanligini ko‘rsatamiz. Ya’ni, aH = bH bo‘lsa, u holda b−1 ∗ a ∈ H bo‘ladi. O‘z navbatida H ⊆ Kerf ekanligidan, f (b−1 ∗ a) = e1 ⇒ f (a) = f (b) ⇒ h(aH) = h(bH) kelib chiqadi. Demak, h akslantirish to‘g‘ri aniqlangan. Ixtiyoriy a element uchun (h ◦ g)(a) = h(g(a)) = h(aH) = f (a) tenglik o‘rinli ekanligidan, h ◦ g = f tenglik kelib chiqadi. Endi, h : G/H → G1 akslantirishning epimorfizm bo‘lishini ko‘rsatamiz. f : G → G1 akslantirish syurektiv bo‘lganligi uchun h : G/H → G1 ham syurektiv bo‘ladi. Shuningdek, h((aH) ∗ (bH)) = h((a ∗ b)H) = f (a ∗ b) = f (a) ∗1 f (b) = h(aH) ∗1 h(bH). Demak, h akslantirish epimorfizm ekan. Endi bu shartlarni qanoatlartiruvchi epimorfizm yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, boshqa h1 : G/H → G1 epimorfizm mavjud bo‘lib, f = h1 ◦ g bo‘lsin. U holda, ixtiyoriy aH ∈ G/H element uchun h(aH) = f (a) = (h1 ◦ g)(a) = h1(g(a)) = h1(aH) tenglik o‘rinli. Demak, h = h1. Endi teoremaning ikkinchi qismini, ya’ni h inyektiv akslantirish bo‘lishi uchun H = Kerf bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, h inyek- tiv akslantirish bo‘lsin. U holda Kerf ⊆ H ekanligi quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi ∀a ∈ Kerf ⇒ f (a) = e1 ⇒ h(aH) = e1 = h(eH) ⇒ aH = eH ⇒ a ∈ H. Shuningdek, teorema shartiga ko‘ra H ⊆ Kerf bo‘lganligi uchun H = Kerf tenglikni hosil qilamiz. Endi H = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lsa, h akslantirishning inyektiv bo‘lishini ko‘rsatamiz. Agar h(aH) = h(bH) bo‘lsa, u holda f (a) = f (b) ⇒ f (b−1 ∗ a) = e1 ⇒ b−1 ∗ a ∈ Kerf = H ⇒ aH = bH. Demak, h inyektiv akslantirish. Demak, 2.3.1-teoremada H = Kerf bo‘lsa, u holda h izomorfizm bo‘lar ekan, ya’ni G/Kerf ∼= G1 munosabat o‘rinli bo‘ladi. Ushbu natija gruppalar nazariyasida muhim o‘rin egallab, uni gruppalar uchun gomomorfizmlarning asosiy teoremasi yoki gruppalar uchun izomorfizm haqidagi birinchi teo- rema deb nomlanadi. 2.3.2-teorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda G/Kerf ∼= f (G) bo‘ladi. 2.3.1-teoremadan G gruppaning har bir G1 gomomorf obraziga yagona N nor- mal qism gruppa mos kelib, G/N ∼= G1 bo‘lishi kelib chiqadi. Masalan, S3 grup- paning uchta gomomorf obrazi, shuningdek uchta normal qism gruppasi mavjud. Uning gomomorf obrazlari S3, Z2 va Z1 bo‘lsa, normal qism gruppalari esa, {e}, A3 va S3 lardan iborat bo‘lib, S3 ∼= S3/{e}, Z2 ∼= S3/A3, Z1 ∼= S3/S3. 2.3.3-teorema. Aytaylik, G1 gruppa G gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli: Agar G siklik gruppa bo‘lsa, u holda G1 ham siklik gruppa bo‘ladi. Agar G kommutativ gruppa bo‘lsa, u holda G1 ham kommutativ gruppa bo‘ladi. Agar G gruppa chekli bo‘lib, G1 gruppada tartibi n bo‘lgan element mavjud bo‘lsa, u holda G gruppada ham tartibi n ga teng bo‘lgan element mavjud. Isbot. Teoremaning 1 va 2-qismlari isboti 2.1.1-teoremaning 6-qismidan kelib chiqadi. Shuning uchun, biz faqat teoremaning 3-qismini isbotlaymiz. Aytaylik, a1 ∈ G1 elementning tartibi n ga teng bo‘lsin. Agar n = 1 bo‘lsa, n u holda e ∈ G biz qidirayotgan element bo‘ladi. Endi, n > 1 bo‘lgan holni qaraylik. f : G → G1 akslantirish syurektiv bo‘lganligi sababli, f (a) = a1 shartni qanoatlantiruvchi a ∈ G element topiladi. G gruppaning tartibi chekli bo‘lganligi sababli, ord(a) ham chekli bo‘lib, 2.1.1-teoremaning 7-qismidan ord(a1) soni ord(a) ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni n | ord(a). U holda ord(a) = nt, t ∈ N ⇒ t < ord(a) ⇒ at /= e. Agar b = at deb olsak, u holda b = e bo‘lib, 1.1.1-teoremaga ko‘ra ord(b) = ord(at) = ord(a) = nt EKUB(t, ord(a)) t = n. 2.3.4-teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). Bizga G gruppa va uning H, K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Agar K a G bo‘lsa, u holda H/(H ∩ K) ∼= (HK)/K. Isbot. Ixtiyoriy h ∈ H element uchun f : H → (HK)/K akslantirishni f (h) = hK ko‘rinishida aniqlaymiz. Ushbu f akslantirish gomomorfizm bo‘ladi, chunki ixtiyoriy h1, h2 ∈ H elementlar uchun f (h1 ∗ h2) = (h1 ∗ h2)K = (h1K) ∗ (h2K) = f (h1) ∗ f (h2). Ixtiyoriy xK ∈ (HK)/K element uchun x = h ∗ k tenglikni qanoatlantiruvchi h ∈ H va k ∈ K elementlar topiladi. Shuningdek, xK = (h ∗ k)K = (hK) ∗ (kK) = hK = f (h) tenglik o‘rinli ekanligidan f akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi, ya’ni f (H) = (HK)/K. U holda gomomorfizmning birinchi teoremasiga ko‘ra, H/Kerf ∼= (HK)/K munosabat o‘rinli bo‘ladi. Endi, Kerf = H ∩ K ekanligini ko‘rsatamiz. Aniqlanishiga ko‘ra Kerf = {h ∈ H| f (h) element (HK)/K ning birlik elementi}. Bundan esa, Kerf = {h ∈ H| hK = K} = {h ∈ H| h ∈ K} = H ∩ K kelib chiqadi. Demak, H/(H ∩ K) ∼= (HK)/K. 2.3.5-teorema. Bizga f : G → G1 epimorfizm berilgan bo‘lib, H a G uchun Kerf ⊆ H bo‘lsin. Agar g : G → G/H va g1 : G1 → G1/f (H) tabiiy go- momorfizmlar bo‘lsa, u holda g1 ◦ f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : G/H → G1/f (H) izomorfizm mavjud. Isbot. Teoremani isbotlash uchun Ker(g1 ◦ f ) = H tenglik o‘rinli ekan- ligi ko‘rsatish kifoya. Chunki, bu tenglikdan 2.3.1-teoremaga ko‘ra, yagona h : G/H → G1/f (H) izomorfizm mavjud ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy a ∈ H element uchun f (a) ∈ f (H) = Ker g1 ekanligidan (g1 ◦ f )(a) = g1(f (a)) ele- ment G1/f (H) faktor gruppaning birlik elementiga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni, a ∈ Ker(g1 ◦ f ), bundan esa H ⊆ Ker(g1 ◦ f ) kelib chiqadi. Agar a ∈ Ker(g1 ◦ f ) bo‘lsa, u holda g1(f (a)) element G1/f (H) gruppaning birlik elementi bo‘ladi, bundan esa f (a) ∈ Ker g1 = f (H) kelib chiqadi. Natijada, f (a) = f (b) tenglikni qanoatlantiradigan b ∈ H element topiladi. U holda f (a) = f (b) ⇒ f (a ∗ b−1) = e1 ⇒ a ∗ b−1 ∈ Ker f ⊆ H, ya’ni a = (a ∗ b−1) ∗ b ∈ H ⇒ Ker(g1 ◦ f ) ⊆ H. Demak, Ker(g1 ◦ f ) = H. Download 0.99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling