Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar
- Gruppalarning to‘gri va yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi
2.3.2-misol. (Z, +) gruppaning barcha gomomorf obrazlarini toping.
Yechish. Aytaylik H gruppa (Z, +) gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin, ya’ni f : Z → H epimorfizm mavjud. U holda izomorfizmning birinchi teore- masiga ko‘ra Z/Kerf ∼= H. Kerf yadro Z gruppaning normal qism gruppasi bo‘lganligi uchun, Kerf = nZ bo‘ladi, bu yerda n ≥ 0. Demak, H ∼= Z/nZ. Ma’lumki, Z/nZ gruppa n = 0 da Z ga n > 0 da esa Zn ga izomorf bo‘ladi. Shun- day qilib, Z gruppaning gomomorf obrazlari Z va Zn ekanligiga ega bo‘lamiz. 2.3.3-misol. Agar chekli G gruppadan Z8 gruppaga epimorfizm mavjud bo‘lsa, u holda G indeksi 4 va 2 ga teng bo‘lgan qism gruppalarga ega ekanligini isbotlang. Yechish. Aytaylik, f : G → Z8 epimorfizm bo‘lsin, u holda izomorfizmning birinchi teoremasiga ko‘ra G/Kerf ∼= Z8. Demak, G/Kerf tartibi 8 ga teng bo‘lgan siklik gruppa. Bundan esa, G/Kerf tartibi 4 va 2 ga teng bo‘lgan H1 va H2 normal qism gruppalarga ega ekanligi kelib chiqadi. Moslik teoremasiga ko‘ra esa G gruppaning N1 va N2 normal qism gruppalari mavjud bo‘lib, Kerf ⊆ N1, N1/Kerf = H1 va Kerf ⊆ N2, N2/Kerf = H2 bo‘ladi. Bundan esa, [G : Kerf ] 8 [G : N1] = [N1 = : Kerf ] = 2, 4 [G : Kerf ] 8 kelib chiqadi. [G : N2] = [N2 = = 4 : Kerf ] 2 2.3.4-misol. D4 gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasi Inn(D4) ni toping. Yechish. 2.3.9-teoremaga ko‘ra Inn(D4) ∼= D4/Z(D4) bo‘lib, o‘z navbatida |Z(D4)| = 2 ekanligidan D4/Z(D4) faktor gruppaning tartibi 4 ga tengligi kelib chiqadi, ya’ni D4/Z(D4) = {e · Z(D4), a · Z(D4), b · Z(D4), (a · b) · Z(D4)}. Bundan esa, b2 ∈ Z(D4), a2 = e va (a · b)2 = e ekanligini hisobga olsak, D4/Z(D4) faktor gruppaning birlik elementdan farqli barcha elementlarining tar- tibi 2 ga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, Inn(D4) ∼= D4/Z(D4) ∼= K4 ekanli- gini hosil qilamiz.
to‘plamining multiplikativ gruppasi.
A ∼= B va G/A ∼/= G/B bo‘lsin.
H a D4 bo‘lib, lekin K qism gruppa D4 da normal bo‘lmasin.
Ushbu paragrafda gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kiritamiz. Gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yuqori tartibli gruppalarni kichik tartibli grup- palar orqali o‘rganish imkonini beradi. Bu orgali gruppalarning ba’zi umumiy xossalarini ham o‘rganish mumkin. Dastlab, quyidagi misolni qarab chiqamiz. 2.4.1-misol. Bizga (G1, ∗1) va (G2, ∗2) gruppalar berilgan bo‘lsin. Ushbu to‘plamlarning G1 × G2 dekart ko‘paytmasida quyidagicha binar amal aniqlaymiz: (a1, a2) ∗ (b1, b2) = (a1 ∗1 b1, a2 ∗2 b2). Ushbu amalga nisbatan G1 × G2 dekart ko‘paytmaning gruppa tashkil qilishini tekshirish qiyin emas. Haqiqatdan ham, ushbu amal binar amal ekanligi va as- sosiativlik shartining bajarilishi osongina kelib chiqib, G1 × G2 to‘plamda (e1, e2) element birlik element vazifasini bajaradi, bu yerda e1 va e2 mos ravishda G1 va G2 gruppalarning birlik elementlari. Ixtiyoriy (a1, a2) elementning teskarisi esa, (a−1 1, a−2 1) bo‘ladi, bu yerda a−1 1 va a−2 1 elementlar mos ravishda G1 va G2 grup- palardagi a1 va a2 elementlarning teskarilari. Endi yuqoridagi misolni umumlashtirgan holda ixtiyoriy sondagi G1, G2, . . . , Gn gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kirita- miz. Buning uchun G = G1 × G2 × · · · × Gn = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ Gi} to‘plamda ∗ binar amalni (a1, a2, . . . , an) ∗ (b1, b2, . . . , bn) = (a1 · b1, a2 · b2, . . . , an · bn) kabi aniqlaymiz, bu yerda shartli ravishda Gi gruppalarning barchasidagi binar amallar bir xil · kabi belgilangan. G to‘plam ushbu amalga nisbatan gruppa tashkil qilib, u G1, G2, . . . , Gn gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi deb ataladi. Ta’kidlash joizki, gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining birlik elementi (e1, e2, . . . , en) bo‘lib, (a1, a2, . . . , an)−1 = (a1−1, an−1, . . . , a−n 1) bo‘ladi. Quyidagi teoremada gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining ba’zi muhim xossalarini keltiramiz. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling