Abstrakt algebra

1.4.5-teorema (Lagranj teoremasi). G chekli gruppaning tartibi uning H qism gruppasining tartibiga qo‘ldiqsiz bo‘linadi va |G| = [G : H] · |H| tenglik o‘rinli.
Isbot. Bizga G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Gruppa chekli bo‘lganligi uchun, H qism gruppaning chap qo‘shni sinflari soni chekli bo‘ladi. Aytaylik, H ning barcha chap qo‘shni sinflari soni r bo‘lib, ular
{a₁H, a₂H, . . . , a_rH} bo‘lsin, ya’ni [G : H] = r. U holda 1.4.1-natijaga ko‘ra

G =

a_iH, bu yerda a_iH ∩ a_jH = ∅, i

j, 1 ≤ i, j ≤ r. Ushbu qo‘shni sinflar
_Sr

i=1

kesishmaydigan bo‘lganligi uchun

|G| = |a₁H| + |a₂H| + · · · + |a_rH|

tenglik o‘rinli.

1.4.2-natijaga ko‘ra |H| = |a_iH|, 1 ≤ i ≤ r bo‘lib,
|G| = |a₁H| + |a₂H| + · · · + |a_rH| = |H| + |H| + · · · + |H| = r|H| = [G : H]|H|.



^` r m^˛¸arta ^x
Demak, G gruppaning tartibi H qism gruppaning tartibiga qo‘ldiqsiz bo‘linar
ekan.

∈
1.4.3-natija. Agar G gruppaning tartibi n ga teng bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a G
elementning tartibi n ning bo‘luvchisi bo‘lib, aⁿ = e bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik ord(a) = k bo‘lsin, u holda H = ⟨a⟩ siklik qism gruppa k ta elementdan iborat, ya’ni |H| = |⟨a⟩| = ord(a) = k. Yuqoridagi 1.4.5-teoremaga ko‘ra esa, n soni k ga bo‘linadi, ya’ni n = kq. Demak,


aⁿ = a^kq = (a^k)^q = e^q = e.



1.4.4-natija. Agar G tartibi tub son bo‘lgan gruppa bo‘lsa, u holda G siklik gruppa bo‘ladi. Bundan tashqari, tartibi tub songa teng bo‘lgan siklik gruppalar xos qism gruppaga ega emas.
Isbot. G gruppaning a ∈ G (a /= e) elementi uchun H = ⟨a⟩ siklik qism gruppani qarasak, u holda |H| soni |G| ning bo‘luvchilaridan biri bo‘ladi. |G| tub son bo‘lganligi va |H| ≥ 2 ekanligi uchun |G| = |H| tenglik kelib chiqadi, ya’ni G = H.
Endi qism gruppalarning ko‘paytmasi tushunchasini kiritamiz.
1.4.2-ta’rif. G gruppaning H va K bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari ko‘paytmasi deb HK = {h ∗ k | h ∈ H, k ∈ K} to‘plamga aytiladi.

Tabiiyki, ushbu ta’rif yordamida G gruppaning bir nechta H₁, H₂, . . . , H_n bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari ko‘paytmasini quyidagicha aniqlanishi kelib chiqadi

H₁H₂ . . . H_n = {h₁ ∗ h₂ ∗ · · · ∗ h_n | h_i ∈ H_i}.
Agar G gruppaning H va K bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari qism grup- palar bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi HK to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladimi degan tabiiy savol tug‘iladi. Ushbu savolga quyidagi teoremada javob beriladi.
1.4.6-teorema. G gruppaning H va K qism gruppalari ko‘paytmasi HK to‘plam qism gruppa bo‘lishi uchun HK = KH bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, HK to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lsin. Ixtiyoriy y ∈ KH elementni olsak, bu element y = k ∗ h, k ∈ K, h ∈ H ko‘rinishida yoziladi. O‘z navbatida k = e ∗ k va h = h ∗ e ekanligidan, hamda e birlik element H va K qism gruppalarning har ikkalasida yotganligidan foydalanib, k, h ∈ HK ekanligini hosil qilamiz. HK qism gruppa bo‘lganligi uchun k∗h ∈ HK bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy y ∈ KH uchun y ∈ HK kelib chiqdi, ya’ni KH ⊆ HK. Endi bu minosabatning ikkinchi tomonini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy z ∈ HK element uchun HK to‘plam qism gruppa bo‘lganligidan z⁻¹ ∈ HK, ya’ni z⁻¹ =

h₁ ∗ k₁ kelib chiqadi. Demak, z = (z⁻¹)⁻¹ = (h₁ ∗ k₁)⁻¹ = k₁⁻¹h₁⁻¹ HK ⊆ KH. Bulardan esa, HK = KH ekanligini hosil qilamiz.
∈ KH, ya’ni

Yetarlilik. Aytaylik, HK = KH bo‘lsin. Ixtiyoriy x, y ∈ HK elementlarni olamiz. U holda x = h₁ ∗ k₁ va y = h₂ ∗ k₂, bu yerda h₁, h₂ ∈ H, k₁, k₂ ∈ K. HK = KH tenglikdan foydalangan holda, quyidagi munosabatga ega bo‘lamiz:
x ∗ y⁻¹ = h₁ ∗ k₁ ∗ (h₂ ∗ k₂)⁻¹ = (h₁ ∗ k₁) ∗ (k₂⁻¹ ∗ h₂⁻¹) = (h₁ ∗ k₁) ∗ (h₃ ∗ k₃) =
h₁ ∗ (k₁ ∗ h₃) ∗ k₃ = h₁ ∗ (h₄ ∗ k₄) ∗ k₃ = (h₁ ∗ h₄) ∗ (k₄ ∗ k₃) ∈ HK.
Bundan esa, HK to‘plamning qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.
Endi qism gruppalarning ko‘paytmasi HK qism gruppa bo‘lishi uchun yana bir zaruriy va yetarlilik shartni keltiramiz. Bu shart berilgan qism gruppalarning birlashmasi orqali beriladi.
1.4.7-teorema. G gruppaning H va K qism gruppalari ko‘paytmasi ham qism gruppa bo‘lishi uchun HK = ⟨H ∪ K⟩ bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, HK ko‘paytma G gruppaning qism gruppasi bo‘lsin. U holda H ⊆ HK va K ⊆ HK bo‘lib, H ∪ K ⊆ HK bo‘ladi. ⟨H ∪ K⟩ qism gruppa H ∪ K to‘plamni o‘z ichiga oluvchi eng kichik qism gruppa bo‘lganligi uchun
⟨H ∪ K⟩ ⊆ HK. Bu munosabatning teskarisi esa H, K ⊆ ⟨H ∪ K⟩ ekanligidan va
⟨H ∪ K⟩ ning qism gruppaligidan kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy h ∈ H va k ∈ K

elementlar uchun h, k ∈ ⟨H ∪ K⟩ bo‘lib, h ∗ k ∈ ⟨H ∪ K⟩ bo‘ladi. Demak,

HK ⊆ ⟨H ∪ K⟩, bundan esa HK = ⟨H ∪ K⟩ kelib chiqadi.
Teorema ikkinchi tomonining isboti esa, ⟨H ∪ K⟩ ning qism gruppaligidan bevosita kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada chekli H va K qism gruppalarning ko‘paytmasi element- lari soni uchun o‘rinli bo‘lgan formulani keltiramiz.
1.4.8-teorema. G gruppaning H va K chekli qism gruppalari berilgan bo‘lsin. U holda

| |
_{HK =} |H||K| _.
|H ∩ K|
Isbot. Ma’lumki, H va K qism gruppalarning kesishmasi A = H ∩ K ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Bundan tashqari, A to‘plam H gruppan- ing ham qism gruppasi bo‘lib, Lagranj teoremasiga ko‘ra |H| soni |A| soniga bo‘linadi, ya’ni |H| = |A| · n. U holda [H : A] = n, ya’ni H qism gruppada A ning n ta turli chap qo‘shni sinflari mavjud. Ushbu chap qo‘shni sinflar oilasini

{x₁A, x₂A, . . . , x_nA} ko‘rinishda yozib olamiz. U holda H =

i=1

x_iA bo‘lib, A
_Sn



to‘plam K gruppaning ham qism gruppasi ekanligidan foydalansak,



n n

i=1


i=1

HK = ^[ x_iA K = ^[ x_iK

tenglikka ega bo‘lamiz. Endi x_iK va x_jK = (i /= j) chap qo‘shni sinflarning turli ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, x_iK = x_jK bo‘lsin, u holda x⁻_i ¹ ∗ x_j ∈ K. Ikkinchi tomondan esa, x⁻_i ¹ ∗ x_j ∈ H bo‘lganligi uchun x⁻_i ¹ ∗ x_j ∈ A munosabatga ega bo‘lamiz. Natijada x_jA = x_iA tenglik kelib chiqadi, bu esa A ning H dagi turli chap qo‘shni sinflari sifatida tanlab olinganiga zid. Demak, x₁K, x₂K, . . . , x_nK to‘plamlar turli qo‘shni sinflar bo‘ladi. U holda

|HK| = |x₁K| + |x₂K| + · · · + |x_nK| bo‘lib, |K| = |x_iK|, i = 1, n ekanligidan (1.4.2-natijaga qarang)

|HK| = |K| + · · · + |K| = n|K| = ^|H||K|


₌ |H||K|

tenglikka ega bo‘lamiz`.
n m^˛¸arta ^x
|A|
|H ∩ K|

Quyidagi natija yuqoridagi teoremadan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.
1.4.5-natija. Agar G gruppaning H va K qism gruppalari uchun H ∩ K = {e}
bo‘lsa, u holda |HK| = |H||K|.

1.4.2-misol. Agar G gruppaning tartibi pⁿ ga teng bo‘lsa (p – tub son), u holda uning tartibi p ga teng elementi mavjud ekanligini ko‘rsating.

n
Yechish. Gruppaning ixtiyoriy a /= e elementi uchun H = ⟨a⟩ siklik qism gruppani qarasak, ushbu siklik qism gruppaning tartibi p ning bo‘luvchisi bo‘ladi. Demak, |H| = p^m, bu yerda 0 < m ≤ n. Bundan ixtiyoriy d | p^m soni uchun H siklik gruppaning tartibi d ga teng qism gruppasi mavjudligi kelib chiqadi. Ya’ni tartibi p ga teng bo‘lgan qism gruppasi ham mavjud. Bu esa, tartibi p ga teng element mavjudligini anglatadi. Q
1.4.3-misol. Agar G kommutativ gruppaning tartibi 2 ga teng bo‘lgan ikkita turli elementi mavjud bo‘lsa, u holda gruppa tartibini 4 ga bo‘linishini ko‘rsating. Bu natija nokommutativ holda o‘rinli emasligiga misol keltiring.
Yechish. Aytaylik, G kommutativ gruppaning a va b elementlari tartiblari 2 ga teng bo‘lsin. U holda K = {e, a} va H = {e, b} qism gruppalarning ko‘paytmasi HK ni qarasak, G kommutativ bo‘lganligi uchun HK = {e, a, b, ab} ham qism gruppa bo‘ladi. Demak, G gruppaning tartibi 4 ga bo‘linadi.
Nokommutativ bo‘lgan holga misol sifatida S₃ gruppani va uning a = (1 2), b = (1 3) elementlarini keltirish mumkin. Ushbu elementlar turli bo‘lib, ularning tartiblari 2 ga teng, lekin gruppaning tartibi 4 ga bo‘linmaydi. Q

1.