Abstrakt algebra

1.3.2-ta’rif. (G, ∗) gruppaning markazi deb
Z(G) = {b ∈ G | a ∗ b = b ∗ a, ∀a ∈ G}


to‘plamga aytiladi.
1.3.2-teorema. (G, ∗) gruppaning markazi uning kommutativ qism gruppasi bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun e ∗ a = a ∗ e ekanligidan e ∈ Z(G) kelib chiqadi. Demak, Z(G) bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. Aytaylik, b, c ∈ Z(G) bo‘lsin, ya’ni b ∗ a = a ∗ b, c ∗ a = a ∗ c tengliklar ∀a ∈ G uchun o‘rinli bo‘lsin. Bundan esa, a ∗ c⁻¹ = c⁻¹ ∗ a tenglik ham ∀a ∈ G uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Quyidagi
a ∗ (b ∗ c⁻¹) = (a ∗ b) ∗ c⁻¹ = (b ∗ a) ∗ c⁻¹ = b ∗ (a ∗ c⁻¹) = b ∗ (c⁻¹ ∗ a) = (b ∗ c⁻¹) ∗ a
tenglikdan esa b ∗ c⁻¹ ∈ Z(G) ekanligini hosil qilamiz. Demak, Z(G) qism gruppa bo‘lib, uning kommutativ ekanligi esa ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada berilgan gruppaning qism gruppalari kesishmasi yana qism gruppa bo‘lishi ko‘rsatiladi.


1.3.3-teorema. (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy sondagi qism gruppalari kesishmasi yana qism gruppa bo‘ladi.

qism gruppa uchun e ∈ H

to‘plamni qaraylik. Ixtiyoriy H


α


α∈I
_α bo‘lganligi uchun,

Isbot. Bizga G gruppaning H_α, α ∈ I qism gruppalari berilgan bo‘lib, ^T H_α
e ∈ ^T H_α bo‘ladi. Demak, ^T H_α to‘plam bo‘sh emas.

α∈I
Endi ∀a, b ∈
αT∈I
α∈I
H_α elementlarni olamiz. Bu elementlar har bir qism gruppaga
−1

^T∗ ∈

T
tegishli, ya’ni a, b ∈ H_α bo‘lganligi uchun a ∗ b ∈ H_α bo‘ladi. Bundan esa

_{a b}−1
α∈I
H_α kelib chiqadi. Demak,
α∈I
H_α qism gruppa.

1.3.3-ta’rif. Aytaylik, (G, ∗) gruppa va M uning qism to‘plami bo‘lsin. G gruppa- ning M to‘plamni o‘z ichiga oluvchi barcha qism gruppalari kesishmasi M to‘plam orqali hosil qilingan qism gruppa deyiladi va ⟨M ⟩ kabi belgilanadi.
1.3.4-teorema. G gruppaning M qism to‘plami orqali hosil qilingan qism grup- pasi uchun quyidagi tenglik o‘rinli

1

2

n
⟨M ⟩ = {a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn |a₁, a₂, . . . , a_n ∈ M, ε_i = ±1, n = 1, 2, . . . }.


Isbot. Teoremadagi tenglikning o‘ng tominini H orqali belgilab olaylik. Ma’lumki, n = 1 va ε₁ = 1 bo‘lgan holda a₁ ∈ H, ya’ni M to‘plamning ixti- yoriy elementi H ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ∀h, g ∈ H

1

2

n

1

2

k
uchun h = a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn va g = b^ϵ1 ∗ b^ϵ2 ∗ · · · ∗ b^ϵk bo‘lib,



1

2

n

k

2

1
h ∗ g⁻¹ = a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn ∗ b^−ϵk ∗ · · · ∗ b^−ϵ2 ∗ b^−ϵ1 ∈ H.

Demak, H to‘plam qism gruppa bo‘lib, M ni o‘z ichiga oladi. Bu esa ⟨M ⟩ ⊂ H

ekanligini anglatadi.
Ikkinchi tomondan esa barcha a_i elementlar ⟨M ⟩ qism gruppada yotganligi

1

2

n
uchun, a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn ko‘rinishidagi barcha elementlar ⟨M ⟩ da yotadi. Bundan
esa, H ⊂ ⟨M ⟩ kelib chiqadi. Demak, ⟨M ⟩ = H.
Agar M to‘plam bitta elementdan iborat to‘plam, ya’ni M = {a} bo‘lsa, u holda ⟨{a}⟩ o‘rniga ⟨a⟩ belgilashdan foydalanish qabul qilingan.
1.3.2-natija. G gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun ⟨a⟩ = {aⁿ | n ∈ Z} bo‘ladi.
Agar G = ⟨M ⟩ tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda M to‘plam G gruppaning hosil qiluvchi to‘plami deyiladi, M to‘plamning elementlari esa G gruppaning hosil qiluvchi elementlari deb ataladi.
1.3.4-ta’rif. Agar G gruppada G = ⟨a⟩ tenglikni qanoatlantiruvchi a ∈ G element mavjud bo‘lsa, u holda G gruppa siklik gruppa deyiladi.

⟨ ⟩
Ta’kidlash joizki, har qanday siklik gruppa kommutativ gruppa bo‘ladi. Haqiqatan ham, G = a siklik gruppaning ixtiyoriy b va c elementlari uchun shunday butun n va m sonlar topilib, b = aⁿ va c = a^m tengliklar o‘rinli. Ushbu b ∗ c = aⁿ ∗ a^m = a^n+m = a^m ∗ aⁿ = c ∗ b tenglikdan b va c elementlar o‘zaro o‘rin almashinuvchi ekanligi kelib chiqadi. O‘z navbatida b va c elementlarning ixtiyoriy ekanligidan G gruppaning kommutativligiga ega bo‘lamiz.

1.3.1-misol.

• 
  Qo‘shishga nisbatan butun sonlar gruppasi (Z, +) siklik gruppa bo‘ladi, ya’ni
  

Z = ⟨1⟩.

• 
  Qo‘shishga nisbatan chegirmalar gruppasi (Z_n, +) ham siklik gruppa bo‘ladi, ya’ni Z_n = ⟨1⟩.
  

Quyidagi teorema chekli siklik gruppalarning aniq tasnifini ifodalaydi.
1.3.5-teorema. Agar G tartibi n ga teng bo‘lgan siklik gruppa bo‘lsa, u holda
G = ⟨a⟩ = {e, a, a², . . . , aⁿ⁻¹}.
Isbot. G siklik gruppa bo‘lganligi uchun G = ⟨a⟩ bo‘lib, 1.3.2-natijaga ko‘ra
⟨a⟩ = {aⁱ | i ∈ Z} kelib chiqadi. Suningdek, ⟨a⟩ chekli bo‘lganligi uchun shunday i, j (j > i) butun sonlar topilib, aⁱ = a^j bo‘ladi. Natijada a^j−i = e, j − i > 0 tenglikka ega bo‘lamiz. Endi T := {k ∈ N | a^k = e} to‘plamning eng kichik elementini m bilan belgilaymiz. U holda S := {e, a, a², . . . , a^m−1} to‘plamning barcha elementlari turli bo‘ladi. Darhaqiqat, agar a^s = a^t, 0 ≤ s < t < m, bo‘lsa, u holda a^t−s = e, 0 < t − s < m bo‘lib, m soni T to‘plamning eng kichik elementi ekanligiga zidddiyat kelib chiqadi.
Shuningdek S ⊆ ⟨a⟩ ekanligi ma’lum. Endi ⟨a⟩ ⊆ S munosabat o‘rinli ekan-
ligini ko‘rsatamiz. Buning uchun a ning ixtiyoriy darajasi S to‘plamga tegishli ekanini ko‘rsatish kifoya. Ixtiyoriy a^k ∈ ⟨a⟩, k ∈ Z uchun, qoldiqli bo‘lish qoidasiga ko‘ra k sonini k = qm + r, 0 ≤ r < m ko‘rinishda yozib olsak:
a^k = a^qm+r = (a^m)^q ∗ a^r = e ∗ a^r = a^r ∈ S.
Bundan esa, ⟨a⟩ ⊆ S kelib chiqadi. Shunday qilib, S = ⟨a⟩ va S ning ele- mentlari turli, hamda ⟨a⟩ gruppaning tartibi n ga teng ekanligidan m = n kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
1.3.3-natija. G gruppa siklik bo‘lishi uchun shunday a ∈ G element topilib, ord(a) = |G| bo‘lishi zarur va yetarli.
Quyidagi teoremada siklik gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi yana siklik gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.


1.3.6-teorema. Siklik gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi yana siklik gruppa bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G = ⟨a⟩ siklik gruppa berilgan bo‘lib, H uning qism gruppasi bo‘lsin. Agar H = {e} bo‘lsa, u holda uning siklik ekanligi ravshan. Aytaylik, H /= {e} bo‘lib, b ∈ H, b /= e bo‘lsin. U holda b = a^m bo‘lib, H qism gruppa bo‘lganligi uchun b⁻¹ = a^−m ∈ H. Bundan esa, H qism gruppa a^k, k > 0 elementni o‘z ichiga olishi kelib chiqadi.
Aytaylik, n soni aⁿ ∈ H munosabat o‘rinli bo‘ladigan eng kichik natural son bo‘lsin. U holda biz H = ⟨aⁿ⟩ ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy h ∈ H elementni aⁿ ning darajasi ko‘rinishida yozilishini ko‘rsatish kifoya. h ∈ G bo‘lganligi uchun shunday k ∈ Z topilib, h = a^k bo‘ladi. k sonini n ga qoldiqli bo‘lsak, k = nq + r, 0 ≤ r < n. U holda, r = k − nq ekanligidan
a^r = a^k−nq = a^k(aⁿ)^−q ∈ H
kelib chiqadi. n soni a elementning darajasi H ga tegishli bo‘ladigan eng kichik natural son bo‘lganligi uchun r = 0 ekanligiga ega bo‘lamiz. Demak, k = nq, ya’ni h = (aⁿ)^q kelib chiqadi. Bu esa, H = ⟨aⁿ⟩ ekanligini anglatadi.
Ma’lumki, Z₄ gruppa to‘rtinchi tartibli siklik gruppa bo‘lib, uning qism grup- palari quyidagilardan iborat
H₁ = {0}, H₂ = {0, 2}, H₃ = Z₄.
Ko‘rinib turibdiki, Z₄ gruppaning barcha qism gruppalari ham siklik. Quyidagi misolda yana bir to‘rtinchi tartibli gruppani keltiramiz.
1.3.2-misol. Aytaylik, bizga G = {e, a, b, c} to‘plam berilgan bo‘lib, bu to‘plamda
∗ binar amal quyidagicha aniqlangan bo‘lsin:
e ∗ a = a ∗ e = a, e ∗ b = b ∗ e = b, e ∗ c = c ∗ e = c, e ∗ e = a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = e,
a ∗ b = b ∗ a = c, a ∗ c = c ∗ a = b, b ∗ c = c ∗ b = a.
U holda (G, ∗) kommutativ gruppa bo‘lib, ushbu gruppa uchun
⟨e⟩ = {e}, ⟨a⟩ = {e, a}, ⟨b⟩ = {e, b}, ⟨c⟩ = {e, c}
munosabatlar o‘rinli. Ko‘rinib turibdiki, bu gruppa siklik emas. Ushbu gruppa
4-tartibli Kleyn gruppasi deb atalib, K₄ kabi belgilanadi.
1.3.3-misol. G gruppaning H qism gruppasi uchun gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H}
to‘plam qism gruppa bo‘lishini va |gHg⁻¹| = |H| ekanligini ko‘rsating.


Yechish. Dastlab, gHg⁻¹ to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatamiz. e = geg⁻¹ ∈ gHg⁻¹ ekanligidan bu to‘plamning bo‘sh emasligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy gh₁g⁻¹, gh₂g⁻¹ ∈ gHg⁻¹ elementlar uchun
gh₁g⁻¹(gh₂g⁻¹)⁻¹ = gh₁g⁻¹gh⁻₂ ¹g⁻¹ = gh₁h₂⁻¹g⁻¹ ∈ gHg⁻¹.
Bundan esa, gHg⁻¹ to‘plamning qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.

−1
Endi |gHg⁻¹| = |H| tenglikni ko‘rsatamiz. Buning uchun f : H → gHg⁻¹, f (h) = ghg akslantirishni aniqlaymiz. Ushbu akslantirish inyektiv bo‘ladi, chunki f (h) = f (h^′) ekanligidan ghg⁻¹ = gh^′g⁻¹ munosabatni, bundan esa h = h^′ tenglikni hosil qilamiz. Bu akslantirishning syurektivligi esa ixtiyoriy a = ghg⁻¹ element uchun f (h) = a ekanligidan kelib chiqadi. Demak, f akslantirish o‘zaro bir qiymatli. Bundan esa, |gHg⁻¹| = |H| kelib chiqadi. Q
1.3.4-misol. Tartibi nm(n > 1, m > 1) ga teng bo‘lgan gruppaning xos qism gruppasi mavjud ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Aytaylik, G gruppaning tartibi nm soniga teng bo‘lsin. Agar G siklik bo‘lsa, u holda G = ⟨a⟩ bo‘lib, ord(a^m) = n bo‘ladi. H = ⟨a^m⟩ to‘plam esa, G gruppaning xos qism gruppasi bo‘ladi.
Agar G gruppa siklik bo‘lmasa, u holda uning birlik elementdan farqli ixtiyoriy a ∈ G elementini olib, H = ⟨a⟩ to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam G gruppaning xos qism gruppasi bo‘ladi. Q

1.