Abstrakt algebra

1.2.3-misol. Quyidagi (1 3 5 7) ◦ (2 3 5 4) ∈ S₇ elementning tartibini toping.
Yechish. Dastlab, ushbu elementlarning ko‘paytmasini topib, so‘ngra uni sikllar ko‘paytmasi shaklida ifodalaymiz

◦

3 2 5 4 7 6 1

1 3 5 2 4 6 7
(1 3 5 7) ◦ (2 3 5 4) = ^{1 2 3 4 5 6 7} ◦ ^{1 2 3 4 5 6 7}

= ^{1 2 3 4 5 6 7} = (1 3 7) (2 5 4).

3 5 7 2 4 6 1
Demak, berilgan element uzunligi uchga teng bo‘lgan ikkita kesishmaydigan sikllarning ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalandi. Har bir siklning tartibi uchga teng bo‘lganligi uchun berilgan elementning tartibi ham 3 ga teng ekanligini kelib chiqadi. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      • 
        
      Quyidagi o‘rin almashtirishlarni o‘zaro kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozing. Shuningdek, berilgan o‘rin almashtirishlarni transpo- zitsiyalar ko‘rinishida ifodalang:
      

1 2 3 4 5 6 _.

• 
  

3 5 4 1 6 2
1 2 3 4 5 6 _.

• 
  

3 2 1 5 4 6
1 2 3 4 5 6 7 _.
2 5 4 3 6 7 1



•
1 2 3 4 5 6 7 8 _.
2 5 4 8 1 7 3 6

2. 
   Quyidagi α va β o‘rin almashtirishlar uchun α ◦ β ◦ α⁻¹ ifodani toping:
   
   • 
     α = (1 2 5 7), β = (2 4 6) ∈ S₇.
     
   • 
     α = (1 3 5 7), β = (2 4 8) ◦ (1 3 6) ∈ S₈.
     
   • 
     α = (1 3) ◦ (5 8), β = (2 3 6 7) ∈ S₈.
     
   • 
     α = (2 5 9) ◦ (1 3 6), β = (1 5 7) ◦ (2 4 6 9) ∈ S₉.
     

3. (1 3 5 7) va (2 3 6 8) ∈ S₈ sikllar uchun α ◦ (1 3 5 7) ◦ α⁻¹ = (2 3 6 8) tenglikni qanoatlantiruvchi α o‘rin almashtirishni toping.

4. 
   Quyidagi elementlarning tartiblarini aniqlang:
   
   • 
     (1 2 3) ◦ (4 5) ∈ S₅.
     
   • 
     (1 2 4 3) ◦ (5 6) ∈ S₆.
     
   • 
     (1 7 4 3) ◦ (2 6 5) ∈ S₇.
     
   • 
     (1 2 4 3) ◦ (2 6 5) ∈ S₆.
     
   • 
     (1 2 7) ◦ (1 3 5) ∈ S₇.
     
5. 
   Agar σ ∈ S_n o‘rin almashtirish o‘zaro kesishmaydigan sikllar ko‘paymasi ko‘rinishida
   

σ = σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_k
kabi ifodalangan bo‘lib, ord(σ_i) = n_i, i ∈ {1, 2, . . . , k} bo‘lsa, u holda
ord(σ) = EKUB(n₁, n₂, . . . , n_k)
ekanligini isbotlang.

4. 
   (1 2 . . . n − 1 n)⁻¹ = (n n − 1 . . . 2 1) tenglikni isbotlang.
   
5. 
   
   α = (a₁ a₂ . . . a_k) ∈ S_n sikl berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi tenglikni isbotlang:
   

_{α2 =} (a₁ a₃ . . . a_2m−1) ◦ (a₂ a₄ . . . a_2m), agar k = 2m;
(a₁ a₃ . . . a_2m+1 a₂ a₄ . . . a_2m), agar k = 2m + 1.

4. 
   S₄ gruppaning tartibi ikkiga teng bo‘lgan barcha elementlarini toping.
   
5. 
   S₄ gruppaning tartibi uchga teng bo‘lgan barcha elementlarini toping.
   
6. 
   A₄ gruppaning barcha elementlarini sikllar ko‘paytmasi shaklida yozing.
   

4. 
   Ixtiyoriy α, β ∈ S_n o‘rin almashtirishlar uchun α⁻¹◦β⁻¹◦α◦β ∈ A_n ekanligini isbotlang.
   

2
12. |A_n| = ^n!
tenglikni isbotlang.

13. 
    S_n simmetrik gruppada uzunligi r ga teng bo‘lgan turli xil sikllar soni ^{1 n!}
    

ga teng bo‘lishini isbotlang.
r (n−r)!

13. 
    σ ∈ S_n, n ≥ 2 siklning uzunligi k ga teng bo‘lishi uchun, ord(σ) = k bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    

3. Qism gruppalar. Siklik gruppalar

Bizga (G, ∗) gruppa va uning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G qism to‘plami beril- gan bo‘lsin. Agar ∀a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b ∈ H bo‘lsa, u holda H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq deb ataladi. Ta’kidlash joizki, G to‘plam gruppa bo‘lganligi uchun H to‘plamda ham assosiativlik sharti bajariladi, ya’ni
∀a, b, c ∈ H elementlar uchun (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) munosabat o‘rinli. Demak, agar H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq bo‘lsa, u holda (H, ∗) yarim gruppa
tashkil qiladi.
1.3.1-ta’rif. Agar H to‘plam G gruppada aniqlangan ∗ amaliga nisbatan gruppa tashkil qilsa, u holda H to‘plam (G, ∗) gruppaning qism gruppasi deyiladi va H ≤ G kabi belgilanadi.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy gruppaning kamida ikkita H₁ = {e} va H₂ = G qism gruppalari mavjud. Gruppaning birlik elementdan va o‘zidan iborat bo‘lgan qism gruppalaridan farq qiluvchi qism gruppalariga xos qism gruppalar deyiladi. Biz avvalgi mavzularda qaragan juda ko‘p gruppalarimizning biri ikkinchisiga qism gruppa bo‘ladi. Masalan, butun sonlar to‘plamining additiv (qo‘shish ama- liga nisbatan) gruppasi, ratsional sonlar to‘plamining additiv gruppasiga qism qruppa, o‘z navbatida ratsional sonlar haqiqiy sonlarning, haqiqiy sonlar esa kom-
pleks sonlar to‘plamining additiv qism gruppasi bo‘ladi, ya’ni qiyudagilar o‘rinli (Z, +) ≤ (Q, +) ≤ (R, +) ≤ (C, +).
Bundan tashqari sonlar to‘plamlarining multiplikativ(ko‘paytirish amaliga nis- batan) gruppalari uchun ham quyidagilar o‘rinli
(Q \ {0}, ·) ≤ (R \ {0}, ·) ≤ (C \ {0}, ·).
Ma’lumki, n-tartibli teskarilanuvchi matritsalar to‘plami GL_n(C) va determi- nanti 1 ga teng bo‘lgan matritsalar to‘plami SL_n(C) ko‘paytirish amaliga nisbatan

gruppa tashkil qilib, SL_n(C) ≤ GL_n(C). Bundan tashqari GL_n(C) gruppaning qism gruppalari bo‘lgan quyidagi muhim gruppalar mavjud:

O(n) = {A ∈ GL_n(R) | AA^T = A^T A = E},
SO(n) = {A ∈ O(n) | det(A) = 1},
U(n) = {A ∈ GL_n(C) | AA^∗ = A^∗A = E},
SU(n) = {A ∈ U(n) | det(A) = 1},

bu yerda A^∗ = A^T , ya’ni A matritsaning elementlarini kompleks qo‘shmasi bilan

almashtirib, so‘ngra transponirlashdan hosil bo‘lgan matritsa.
Endi qism gruppaning xossalarini batafsilroq o‘rganishni boshlaymiz.
1.3.1-tasdiq. Gruppaning ixtiyoriy qism gruppasining birlik elementi, gruppa bir- lik elementi bilan ustma-ust tishadi.
Isbot. Aytaylik, H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, e_H va e_G
elementlar mos ravishda (H, ∗) va (G, ∗) gruppalarning birlik elementlari bo‘lsin.
U holda, ixtiyoriy a ∈ H element uchun
a ∗ e_H = e_H ∗ a = a.
Ikkinchi tomondan H ⊂ G ekanligidan
a ∗ e_G = e_G ∗ a = a
hosil bo‘ladi. Bu tengliklardan e_G ∗ a = e_H ∗ a tenglik kelib chiqadi. Gruppada qisqartirish qoidasi o‘rinli bo‘lganligi uchun e_G = e_H ekanligini hosil qilamiz.
Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, berilgan H ⊂ G to‘plam (G, ∗) gruppaning

∀ ∈
qism gruppasi bo‘lishi uchun H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq bo‘lishi, G gruppaning birlik elementi H to‘plamda yotishi va a H elementning teskarisi a⁻¹ yana H to‘plamga tegishli bo‘lishi zarur va yetarli.
Quyidagi teoremada esa, yuqorida aytilgan shartlarni umumiy bitta shart bilan almashtiruvchi tasdiq beriladi.
1.3.1-teorema. (G, ∗) gruppaning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G qism to‘plami qism gruppa bo‘lishi uchun ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat- ning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, (H, ∗) qism gruppa bo‘lsin, u holda ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun b⁻¹ ∈ H bo‘lib, bundan esa a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Yetarlilik. Endi, ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat o‘rinli bo‘lsin. Agar b = a deb olsak, u holda a ∗ a⁻¹ = e ∈ H. Demak, e birlik


element H to‘plamga tegishli bo‘ladi. Endi a element o‘rniga e elementni olib, ixtiyoriy b ∈ H element uchun e ∗ b⁻¹ ∈ H, ya’ni b⁻¹ ∈ H munosabatni hosil qilamiz. Demak H to‘plamda yotuvchi ixtiyoriy elementning teskarisi ham H da yotadi. Endi a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabatda, b ∈ H element o‘rniga b⁻¹ ∈ H elementni qo‘ysak, a ∗ (b⁻¹)⁻¹ = a ∗ b ∈ H ekanligi hosil bo‘ladi. Bundan esa, (H, ∗) qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.
Berilgan H qism to‘plam chekli bo‘lgan holda quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
1.3.1-natija. (G, ∗) gruppa va uning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G chekli qism to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar ∀a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b ∈ H munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda (H, ∗) qism gruppa bo‘ladi.
Isbot. Natijaning shartidan ixtiyoriy a ∈ H element va ixtiyoriy n ∈ N uchun aⁿ ∈ H o‘rinli ekanligi hosil bo‘ladi, ya’ni a ∈ H elementning ixtiyoriy natural darajasi yana H ga tegishli. H to‘plam chekli to‘plam bo‘lganligi uchun
{a, a², . . . , a^k, . . . } elementlarning ichida o‘zaro tenglari mavjud, aks holda H ning
elementlari cheksiz ko‘p bo‘lar edi. Demak, qandaydir m va k (m > k) natural sonlar topilib, a^m = a^k tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan e = a^m−k ∈ H ekanligini, ya’ni gruppaning birlik elementi H to‘plamda yotishini hosil qilamiz.
Endi H dagi barcha elementlarning teskarisi ham H da yotishini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy a ∈ H element uchun a^m−k = e ekanligidan a ∗ a^m−k−1 = a^m−k−1 ∗ a = e tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni a elementning teskarisi a⁻¹ = a^m−k−1 ∈ H. Demak, (H, ∗) qism gruppa bo‘lar ekan.