Abstrakt algebra

O‘rin almashtirishlar gruppasi

Endi chekli nokommutativ gruppa bo‘lgan o‘rin almashtirishlar gruppasini aniqlaymiz. O‘rin almashtirishlar gruppasi bu bo‘sh bo‘lmagan chekli to‘plamni o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi barcha biyektiv akslantirishlar to‘plamining superpozi- tsiya amaliga nisbatan aniqlangan gruppasi hisoblanadi. Ushbu gruppa muhim

gruppalardan bo‘lib, to‘plamning quvvati 2 dan katta bo‘lganda u nokommutativ gruppa bo‘ladi.

Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamda aniqlangan π : X → X biyektiv akslantirishga
X to‘plamning o‘rin almashtirishi deb ataladi. X to‘plamning barcha o‘rin almashtirishlaridan iborat bo‘lgan to‘plamni S(X) kabi belgilaymiz. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, S(X) to‘plam superpozitsiyasi (kompozitsiya) amaliga nis- batan gruppa tashkil qiladi, ya’ni ixtiyoriy f, g ∈ S(X) o‘rin almashtirishlarning ko‘paytmasi sifatida ularning f ◦ g superpozitsiyasini qaraymiz.
Ushbu amal uchun assosiativlik o‘rinli bo‘lib, birlik element vazifasini ayniy akslantirish, teskari element vazifasini esa teskari akslantirish bajaradi. Ushbu (S(X), ◦) gruppaga o‘rin almashtirishlar gruppasi deb ataladi.
Agar X to‘plam chekli to‘plam bo‘lib, uning elementlari soni n ta, ya’ni |X| = n bo‘lsa, u holda (S(X), ◦) gruppa S_n kabi belgilanadi. S_n o‘rin almashtirish- lar gruppasining elementlarini qulayroq ko‘rinishda yozish uchun quyidagi bel- gilashlarni kiritib olamiz. |X| = n bo‘lganligi uchun X to‘plam o‘rniga I_n =
{1, 2, . . . , n} to‘plamni qarab π : I_n → I_n biyektiv akslantirishni
π = {(1, π(1)), (2, π(2)), . . . , (n, π(n))}

yoki



_{π =} 1 2 3 . . . n π(1) π(2) π(3) . . . π(n)
(1.1)

ko‘rinishda yozib olsih mumkin. Demak, S_n gruppaning ixtiyoriy elementini (1.1) ko‘rinishda yozish mumkin.

Masalan, I₄ da aniqlangan π ∈ S₄ biyektiv akslantirishni π(1) = 2, π(2) =

4, π(3) = 3 va π(4) = 1 ko‘rinishda aniqlasak, bu elementni quyidagicha yozish mumkin:
_{π =} 1 2 3 4 _.
2 4 3 1
S_n gruppadagi π, ϕ ∈ S_n o‘rin almashtirishlar o‘rtasidagi ko‘paytma ularning superpozitsiyasi kabi aniqlanganligi uchun

π =1 2 3 . . . n va o‘rin almashtirishlarning ko‘paytmasi	ϕ = ^1	2 3 . . . ϕ(2) ϕ(3) . . .	n ϕ(n)
π ◦ ϕ = ^1^2	3 . . . π(ϕ(3)) . . .	n

π(1) π(2) π(3) . . . π(n) ϕ(1)


π(ϕ(1)) π(ϕ(2)) π(ϕ(n))

kabi bo‘ladi.

Masalan, π₁, π₂ ∈ S₄ o‘rin almashtirishlar uchun

bo‘lsa, u holda
_{π =} 1 2 3 4 _{, π}
¹ 4 1 2 3 ²
₌ 1 2 3 4
2 1 4 3

π ◦ π
₌ 1 2 3 4 _◦ 1 2 3 4 ₌ 1 2 3 4

1 2

bo‘ladi.
4 1 2 3

2 1 4 3
1 4 3 2

Ta’kidlash joizki, S_n gruppa birlik elementining ko‘rinishi
_{e =} 1 2 3 . . . n
1 2 3 . . . n

kabi bo‘lsa,



_{π =} 1 2 3 . . . n π(1) π(2) π(3) . . . π(n)

π =
elementning teskarisi esa
₋₁ 1 2 3 . . . n π⁻¹(1) π⁻¹(2) π⁻¹(3) . . . π⁻¹(n)



ko‘rinishida bo‘ladi.

4 1 2 3

2 3 4 1
Masalan, π = ^{1 2 3 4} o‘rin almashtirish uchun π⁻¹ = ^{1 2 3 4} .


1.2.1-tasdiq. S_n (n ≥ 3) gruppa nokommutativ (kommutativ emas) va |S_n| = n!.
Isbot. Dastlab, ushbu gruppaning nokommutativ ekanligini ko‘rsatamiz.


Buning uchun quyidagi π₁, π₂ ∈ S_n elementlarni qaraymiz

π₁

U holda

₌ 1 2 3 4 . . . n _{, π}
1 3 2 4 . . . n ²
₌ 1 2 3 4 . . . n _.
3 2 1 4 . . . n

π₁ ◦ π₂
va

2

1
π ◦ π
₌ 1 2 3 4 . . . n

2 3 1 4 . . . n



3 1 2 4 . . . n
₌ 1 2 3 4 . . . n _.

Demak, π₁ ◦ π₂ π₂ ◦ π₁, ya’ni S_n gruppa kommutativ emas.

Endi |S_n| = n! ekanligini ko‘rsatamiz. Bu gruppaning elementlari umumiy

ko‘rinishi
_{π =} 1 2 . . . n
π(1) π(2) . . . π(n)

bo‘lib, π(1) ∈ {1, 2, . . . , n}, ya’ni π(1) ning qiymati n ta sondan biriga teng bo‘lishi mumkin. π(2) ∈ {1, 2, . . . , n} \ {π(1)} bo‘lganligi uchun π(2) ning qiymati n − 1 ta sondan biriga va hokazo π(n) ∈ {1, 2, . . . , n} \ {π(1), π(2), . . . , π(n − 1)} ekan- ligidan π(n) ning qiymati faqat bitta songa teng bo‘lishi mumkinligi kelib chiqadi. Natijada, π o‘rin almashtirishni hosil qilish mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlari 1 · 2 · 3 · · · · · n = n! soniga teng, ya’ni |S_n| = n!.
Endi sikl va transpozitsiya deb nomlanuvchi o‘rin almashtirishlarni keltiramiz.

1.2.1-ta’rif. π ∈ S_n o‘rin almashtirish


_{π =} i₁ i₂ . . . i_k−1 i_k i₂ i₃ . . . i_k i₁


ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, ya’ni π(i₁) = i₂, π(i₂) = i₃, . . . , π(i_k−1) = i_k, π(i_k) = i₁ bo‘lib, a ∈ I_n \ {i₁, i₂, . . . , i_k} elementlar uchun π(a) = a bo‘lsa, u holda bu o‘rin almashtirishga uzunligi k ga teng bo‘lgan sikl yoki k-sikl deb ataladi va (i₁, i₂, . . . , i_k) ko‘rinishida yoziladi. Uzunligi 2 ga teng bo‘lgan sikl esa transpozitsiya deyiladi.
Uzunligi k ga teng bo‘lgan π = (i₁, i₂, . . . , i_k−1, i_k) siklni k xil usulda yozish mumkin, ya’ni quyidagi tengliklar o‘rinli
π = (i₁, i₂, . . . , i_k−1, i_k) = (i₂, i₃, . . . , i_k, i₁) = · · · = (i_k, i₁, . . . , i_k−2, i_k−1).



Sikl ko‘rinishidagi o‘rin almashtirishlarni sonlarning orasiga vergul qo‘ymasdan (i₁i₂ . . . i_k) kabi yozish ham qabul qilingan. Masalan, (S₃, ◦) gruppaning barcha elementlari

1 2 3

2 1 3

3 2 1

1 3 2

2 3 1

3 1 2
1 2 3 _, 1 2 3 _, 1 2 3 _, 1 2 3 _, 1 2 3 _, 1 2 3
bo‘lib, ular sikl ko‘rinishida mos ravishda quyidagicha yoziladi:


e, (12), (13), (23), (123), (132).


1.2.2-ta’rif. Bizga π₁, π₂ ∈ S_n o‘rin almashtirishlar berilgan bo‘lsin. Agar π₁(k) /= k shartni qanoatlantiruvchi barcha k lar uchun π₂(k) = k bo‘lib, va aksin- cha π₂(i) /= i lar uchun π₁(i) = i bo‘lsa, u holda π₁ va π₂ o‘rin almashtirishlar kesishmaydigan o‘rin almashtirishlar deyiladi.




π = va π =
Masalan,

1	2	3	4 5
1	2	3	5 4

1 2 3 4 5
¹ 2 3 1 4 5 ²



o‘rin almashtirishlar kesishmaydigan o‘rin almashtirishlar bo‘lib, ularning sikl ko‘rinishidagi ifodalari esa π₁ = (123) va π₂ = (45) bo‘ladi.

Bunda, π = ^{1 2 3 4 5} o‘rin almashtirish uchun π = π
2 3 1 5 4 ¹

• 
  π₂
  

= π₂

• 
  π₁
  

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa, π o‘rin almashtirishni kesishmaydigan π₁ va π₂ sikl-
larning ko‘paytmasi shaklida ifodalanishini bildiradi. Bundan tashqari, o‘zaro ke- sishmaydigan o‘rin almashtirishlar uchun kommutativlik xossasi o‘rinli bo‘lib, bir nechta o‘zaro kesishmaydigan o‘rin almashtirishlarni ko‘paytirganda ham ularning joylashish tartibi ahamiyatga ega emas.
Quyidagi teoremada birlik elementdan farqli bo‘lgan ixtiyoriy o‘rin al- mashtirishni kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkinligi ko‘rsatiladi.