Abstrakt algebra

Galua nazariyasi 207

1. 
   Maydonning kengaytmalari 207
   
2. 
   Separabel va normal kengaytmalar 213
   
3. 
   Galua gruppasi va uning tartibi 219
   
4. 
   Galua nazariyasining fundamental teoremasi 222
   
5. 
   Tenglamalarning radikallarda yechilishi 227
   
6. 
   Qo‘shimcha tushuncha va teoremalar 236
   
7. 
   Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar 243
   

SO‘Z BOSHI

Ma’lumki, algebra atamasi yurtdoshimiz, buyuk mutafakkir olim, matematik va astronom Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy (783–850) tomonidan yozil- gan “Al-jabr va al-muqobala” asari nomi bilan befosita bog‘liqdir. Muhammad al-Xorazmiyning asarlarida sonlar ustidagi arifmetik amallar keltirilgan bo‘lib, birinchi va ikkinchi darajali algebraik tenglamalarga keltiriladigan masalalarni yechishning umumiy usullari berilgan.

Keyinchalik nafaqat sonlar ustida, balki, ixtiyoriy to‘plam elementlari, obyektlar ustida amallar kiritilishi natijasida algebraning abstrakt tushun- chasi hisoblangan algebraik sistemalar paydo bo‘lgan. Algebraik sistemalar- ning dastlabkisi bu gruppalar hisoblanib, gruppalar nazariyasi abstrakt algebra- ning asosiy bo‘limlaridan biridir. Gruppalar berilgan to‘plamda bitta algeb- raik amal kiritish orqali aniqlanib, chekli to‘plamlar ustida o‘rin almashtirish- larni o‘rganish orqali kommutativ bo‘lmagan gruppalar vujudga kelgan. O‘rin almashtirishlar gruppasini, umuman gruppalar nazariyasini paydo bo‘lishida al- gebraik tenglamalarni yechish masalalarini o‘rganish alohida ahamiyat kasb etadi. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, birinchi va ikkinchi darajali algebraik tenglamalarni yechishning umumiy usullari Muhammad al-Xorazmiyning asarlarida berilgan bo‘lsa, uchinchi va to‘rtinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish usullari esa, XVI asrda yashab ijod qilgan italiyalik matematiklar J.Kardano (1501-1576) va L.Ferrarilar (1522-1565) tomonodan e‘lon qilingan ishlarda keltirilgan. Beshinchi va undan yuqori darajali tenglamalarning umumiy yechimini topish usullarini aniqlash masalasi juda ko‘p olimlarning qiziqishiga sabab bo‘lib, bu masalalar XIX asrga kelibgina o‘z yechimini topgan.
O‘rin almashtirishlar gruppasini algebraik tenglamalarni radikallarda yechish masalasini hal qilish uchun qo‘llagan fransiyalik matematik Lagranj XVIII asr oxirlarida gruppalar nazariyasida muhim rol o‘ynaydigan qator natijalarni olgan bo‘lsa, XIX asr boshlarida norvegiyalik matematik Abel (1802–1829) tomonidan darajasi besh va undan yuqori bo‘lgan algebraik tenglamalarni umuman olganda radikallarda yechish mumkin emasligi isbotlangan. Evarist Galua (1811–1832) tomonidan aynan qanday tenglamalarni yechish mumkin va qandaylarini yechish mumkin emas degan masalaning o‘rganilishi esa nafaqat gruppalar, balki may- donlar nazariyasini rivojlantiruvchi yangi bir nazariyaning paydo bo‘lishiga olib

5
6 MUNDARIJA

keldi. Hozirgi kunda ushbu nazariya Galua nazariyasi deb yuritiladi.

Keyinchalik o‘rin almashtirishlar gruppasining Keli, Veber, Jordan va Silovlar tomonidan davom ettirilishi, gruppalarning abstrakt ta’rifi kiritilib, ularning umu- miy xossalarini o‘rganishga turtki bo‘lgan. Yuqorida aytilganidek, gruppalar va ularning xossalari, XVIII asr oxirlari va XIX asr boshlarida ko‘p o‘rganilgan bo‘lsada, gruppalarning abstrakt ta’rifi XX asr boshlariga kelibgina kiritilgan. Shundan so‘ng bu nazariyaning qator olimlar tomonidan jadal suratda o‘rganilishi halqalar va maydonlar nazariyasining ham rivojlanishiga olib keldi.
Halqalar bu gruppalardan farqli o‘laroq ikkita binar amal orqali aniqlanadi- gan obyekt hisoblanib, gruppalar nazariyasidagi ko‘plab tushuncha va tasdiqlar halqalar uchun ham davom ettiriladi. Halqa tushunchasi dastlab, D.Hilbertning (1862–1943) ishlarida keltirilgan bo‘lib, keyinchalik E.Artin, E.Nyoter, A. Frenkel kabi matematiklar tomonidan uning abstrakt ta’rifi kiritilgan. Maydonlarning kengaytmasi va gruppalarni bog‘lovchi Galua nazariyasining zamonaviy talqinda bayon qilinishida ham E.Artinning xizmatlari muhim rol o‘ynaydi.
Hozirgi kunga kelib, gruppalar, halqalar va maydonlar nazariyalari algeb- raning asosiy obyektlari hisoblanib, matematikaning geometriya, topologiya, funksiyalar nazariyasi kabi qator sohalarida qo‘llanilishi bilan birga fizik va mexanik masalalarni yechishda ham ishlatiladi. Zamonaviy algebrada esa, gruppa, halqa va maydon tushunchalaridan ham umumiyroq bo‘lgan algebraik sistemalar o‘rganilmoqda. Jumladan, yurtimiz matematiklari tomonidan as- sosiativ bo‘lmagan algebralarning bir qator muhim sinflari, ularning xossalarini o‘rganishga doir qator muammolar hal qilingan.
Ushbu o‘quv qo‘llanma “Matematika” ta’lim yo‘nalishi dastlabki kurslarida o‘qitiladigan asosiy fanlardan biri hisoblangan Algebra va sonlar nazariyasi kursi- ning Algebra bo‘limida o‘tiladigan barcha mavzularni va magistrantlar uchun mo‘ljallangan “Abstrakt algebra” fanini to‘liq qamrab olgan. Qo‘llanmada ing- liz va rus tillarida yozilgan qator zamonaviy adabiyotlardan foydalanilgan bo‘lib, ko‘plab mavzularning yoritilishida D.S. Malik, J.N. Monderson, M.K. Sen “Funda- mentals of Abstract algebra”, P.A. Grillet “Abstract Algebra”, T.W. Hungerford “Algebra” kitoblaridan hamda Moskva Davlat universiteti “Oliy algebra (Высшая алгебра)” kafedrasi materiallaridan keng foydalanilgan. Galua nazariyasiga doir mavzular esa M.M. Postnikovning rus tilida yozilgan “Galua nazariyasi (Теория Галуа)” kitobi asosida yozilgan. O‘quv qo‘llanma yuqori kurs talabalari, magis- trantlar hamda gruppalar, halqalar va maydonlar nazariyasini chuqur o‘rganishni rejalashtirgan tayanch doktorantlar uchun ham foydali hisoblanadi.