Abstrakt algebra

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   Quyidagi G gruppalarning H qism gruppalari bo‘yicha o‘ng qo‘shni sinflarini aniqlang:
   
   • 
     G = S₃ va H = {e, (2 3)}.
     
   • 
     G = S₃ va H = {e, (1 2 3), (1 3 2)}.
     
   • 
     G = (Z, +) va H = nZ.
     
   • 
     G = (C, +) va H = R.
     
   • 
     G = (R, +) va H = Z.
     
   • 
     G = (R \ {0}, ·) va H = R₊.
     
   • 
     G = (C \ {0}, ·) va H = R \ {0}.
     
   • 
     G = (C \ {0}, ·) va H = {z ∈ C | |z| = 1}.
     
2. 
   G = GL_n(R) va H = SL_n(R) berilgan bo‘lsa, ixtiyoriy g ∈ GL_n(R) matritsa uchun gH qo‘shni sinf determinanti g matritsaning determinantiga teng mat- ritsalardan iborat bo‘lishini isbotlang.
   

3. S₄ gruppaning H = {e, (1 2) ◦ (3 4), (1 4) ◦ (3 2), (1 3) ◦ (2 4)} qism gruppasi barcha o‘ng (chap) qo‘shni sinflarini toping.

4. 
   G gruppaning bo‘sh bo‘lmagan H qism to‘plami qism gruppa bo‘lishi uchun
   

HH = H bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

4. 
   G gruppa va uning H, K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy x ∈ G
   

element uchun (H ∩ K)x = Hx ∩ Kx tenglik o‘rinli ekanligini isbotlang.

4. 
   G gruppa va uning H, K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun Ha ∩ Kb = ∅ bo‘lishini yoki ∃ c ∈ G uchun Ha ∩ Kb = (H ∩ K)c tenglik o‘rinli bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   Agar G gruppaning H va K qism gruppalari indekslari chekli bo‘lsa, u holda
   

H ∩ K ham chekli indeksli qism gruppa bo‘lishini isbotlang.

4. 
   Tartibi pq, (p, q) = 1 ga teng bo‘lgan gruppaning ixtiyoriy xos qism gruppasi siklik bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   
   |K| >
   
   |G| bo‘lsa, u holda |H ∩ K| > 1 ekanligini isbotlang.
   Agar G_√chekli gruppaning H va K qism gruppalari uchun |H| > ^√|G| va
   

4. 
   G chekli gruppaning A va B, A ⊂ B qism gruppalari uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘lishini isbotlang
   

[G : A] = [G : B][B : A].

4. 
   G chekli gruppaning A va B qism gruppalari uchun quyidagilarni isbotlang: [A : A ∩ B] ≤ [G : B], [G : A ∩ B] ≤ [G : A] · [G : B].
   
5. 
   Tartibi 200 dan kichik bo‘lgan G gruppa berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning tartibi 25 va 35 ga teng bo‘lgan qism gruppalari mavjud bo‘lsa, u holda G gruppaning tartibini toping.
   
6. 
   Tartibi 35 ga teng bo‘lgan G gruppa berilgan bo‘lib, A va B uning mos ravishda tartibi 5 va 7 ga teng bo‘lgan qism gruppalar bo‘lsa, u holda G = AB ekanligini isbotlang.
   

5. Normal qism gruppalar va faktor gruppalar

Biz avvalgi mavzuda G gruppaning H qism gruppasi chap va o‘ng qo‘shni sinflari tushunchasini kiritdik. Ma’lumki, agar G kommutativ gruppa bo‘lsa u holda chap va o‘ng qo‘shni sinflar ustma-ust tushadi. Gruppa kommutativ bo‘lmagan holda esa ular turli bo‘lishi ham mumkin. Qism gruppalar ichida chap va o‘ng qo‘shni sinflari ustma-ust tushadiganlari muhim ahamiyatga ega bo‘lib, bunday qism gruppalar normal qism gruppalar deb ataladi.


1.5.1-ta’rif. Bizga G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a ∈ G element uchun aH = Ha tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda H qism gruppa G gruppaning normal qism gruppasi yoki normal bo‘luvchisi deb ataladi va H a G kabi belgilanadi.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy G gruppaning kamida ikkita G va {e} normal qism gruppalari mavjud bo‘lib, gruppaning G va {e} dan farq qiluvchi normal qism gruppalariga xos yoki notrivial normal qism gruppalari deyiladi.
1.5.2-ta’rif. Agar G gruppaning xos normal qism gruppalari mavjud bo‘lmasa, ya’ni normal qism gruppalari faqat {e} va G lardan iborat bo‘lsa, u holda G gruppa sodda gruppa deyiladi.
Ta’kidlash joizki, kommutativ gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi normal qism gruppa bo‘ladi. Demak, siklik bo‘lmagan kommutativ gruppalarning xos siklik qism gruppasi mavjud bo‘lib, u xos normal qism gruppa bo‘ladi. Ya’ni siklik bo‘lmagan kommutativ gruppalar sodda emas.
Tartibi murakkab son bo‘lgan chekli siklik gruppalarning ham xos qism grup- pasi mavjud, ya’ni bunday gruppalar ham sodda emas. Tartibi tub son bo‘lgan siklik gruppalar esa xos qism gruppaga ega emas. Demak, kommutativ bo‘lgan holda faqat tartibi tub songa teng bo‘lgan siklik gruppalargini sodda gruppalar bo‘ladi. Biz quyiroqda kommutativ bo‘lmagan A_n gruppaning sodda ekanligini ko‘rsatamiz.
Ushbu teoremada berilgan qism gruppaning normal qism gruppa bo‘lishi zaruriy va yetarlilik shartini keltiramiz.
1.5.1-teorema. G gruppaning H qism gruppasi normal qism gruppa bo‘lishi uchun ixtiyoriy a ∈ G uchun aHa⁻¹ ⊆ H bo‘lishi zarur va yetarli.