Abstrakt algebra

1.2.1-teorema. Ixtiyoriy π ∈ S_n (n ≥ 2) o‘rin almashtirish o‘zaro kesishmaydi- gan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida (sikllarning joylashish tartibini hisobga olma- gan holda) yagona tarzda ifodalanadi.


Isbot. Teoremani isbotlash uchun induksiya usulidan foydalanamiz. Agar n = 2 bo‘lsa, u holda S₂ = {e, (12)} bo‘lib, teorema o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Teoremani barcha S_k, 2 ≤ k < n gruppalar uchun o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, uni S_n uchun isbotlaymiz. Ixtiyoriy π ∈ S_n, π =/ e element uchun

p

l m
{π(1), π²(1), π³(1), . . . , π^s(1), . . . } ⊆ I_n to‘plamni qaraymiz. I_n to‘plam chekli bo‘lganligi uchun, π (1) = π (1) tenglikni qanoatlantiradigan l va m natural son- lari mavjud. U holda p = |l − m| uchun π^p(1) = 1. Demak, π^p(1) = 1 tenglikni qanoatlantiruvchi p natural soni mavjud. Bunday sonlarning eng kichigini i deb belgilaymiz, ya’ni i = min{p ∈ N | π^p(1) = 1}. U holda quyidagi
A = {1, π(1), π²(1), . . . , πⁱ⁻¹(1)}.
to‘plamning barcha elementlari turli bo‘lib, quyidagi τ ∈ S_n o‘rin almashtirishni aniqlash mumkin
τ = (1, π(1), π²(1), . . . , πⁱ⁻¹(1)).
Ya’ni biz uzunligi i ga teng bo‘lgan siklni aniqladik.
Endi B = I_n \ A to‘plamni qaraymiz. Agar B = ∅ bo‘lsa, u holda i = n bo‘lib, π = τ, ya’ni π o‘rin almashtirish sikldan iborat bo‘ladi. Agar B /= ∅ bo‘lsa, u holda σ = π|_B o‘rin almashtirishni, ya’ni σ sifatida π o‘rin almashtirishni B to‘plamda aniqlangan qismini qaraymiz.
Agar σ = π|_B o‘rin almashtirish S(B) da birlik element bo‘lsa, u holda π = τ,
ya’ni
π = (1, π(1), π²(1), . . . πⁱ⁻¹(1))

bo‘lib, π o‘rin almashtirish uzunligi i ga teng bo‘lgan sikldan iborat bo‘ladi. Agar σ o‘rin almashtirish S(B) da birlik element bo‘lmasa, |B| < n ekanligidan in- duksiya faraziga ko‘ra, σ o‘rin almashtirishni B to‘plamda o‘zaro kesishmaydigan sikllarning ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkin, ya’ni σ = σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_r.

Endi, 1 ≤ i ≤ r soni uchun, π_i o‘rin almashtirishni quyidagicha aniqlaymiz:

i
_{π (a) =} σ_i(a), agar a ∈ B,
a, agar a ∈/ B.

U holda, π₁, π₂, . . . , π_r va τ o‘rin almashtirishlar S_n to‘plamda o‘zaro kesishmay- digan sikllar bo‘lib, π = π₁ ◦ π₂ ◦ · · · ◦ π_r ◦ τ tenglik o‘rinli bo‘ladi, ya’ni π o‘rin almashtirish o‘zaro kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalanadi.

Demak, ixtiyoriy o‘rin almashtirishni o‘zaro kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalash mumkinligi ko‘rsatildi. Endi, bunday ifoda sikllarning joylashish tartibini hisobga olmagan holda yagona ekanlig- ini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya‘ni π o‘rin almashtirish r va s ta o‘zaro kesishmaydigan sikllarning ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalansin. U holda
π = π₁ ◦ π₂ ◦ · · · ◦ π_r = µ₁ ◦ µ₂ ◦ · · · ◦ µ_s.
Ixtiyoriy π_i, 1 ≤ i ≤ r siklni qaraylik. Agar π_i = (i₁ i₂ . . . i_l) bo‘lsa, u holda
π(i₁) i₁ bo‘lganligi uchun, i₁ soni qaysidir µ_j siklda ham qatnashadi. Sikllar
o‘zaro kesishmasligini hisobga olsak, bunday µ_j siklning yagona ekanligiga ega bo‘lamiz. Ushbu µ_j siklni esa µ_j = (i₁ c₂ . . . c_m) ko‘rinishida yozib olish mumkin. U holda
i₂ = π_i(i₁) = π(i₁) = µ_j(i₁) = c₂,
i₃ = π_i(i₂) = π(i₂) = π(c₂) = µ_j(c₂) = c₃,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i_l = π_i(i_l−1) = π(i_l−1) = π(c_l−1) = µ_j(c_l−1) = c_l
tengliklardan l = m, hamda π_i = µ_j ekanligini hosil qilamiz. Demak, ixtiyoriy π_i
sikl uchun shunday µ_j sikl topilib, π_i = µ_j tenglik bajarilar ekan.

Ushbu mulohazani ixtiyoriy µ_k sikl uchun yuritib, unga mos µ_k = π_t shartni qanoatlantiruvchi π_t siklning mavjudligini keltirib chiqazish mumkin. Demak, ixtiyoriy π_i sikl uchun π_i = µ_j shartni qanoatlantiruvchi yagona µ_j sikl topiladi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
1.2.1-natija. (S_n, ◦), n ≥ 2 gruppadagi ixtiyoriy π o‘rin almashtirishni transpo- zitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Isbot. 1.2.1-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy o‘rin almashtirish sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishisa yoziladi. Demak, natijani isbotlash uchun uzunligi k ga teng bo‘lgan

ixtiyoriy siklni transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkinligini is- botlash yetarli. k = 1 bo‘lsa, u holda (i) = e bo‘lib, e = (1) = (1 2) ◦(1 2) bo‘ladi.

Agar k ≥ 2 bo‘lsa, u holda
(i₁ i₂ . . . i_k) = (i₁ i_k) ◦ (i₁ i_k−1) ◦ · · · ◦ (i₁, i₂)
tenglikdan ixtiyoriy siklni transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkinligi kelib chiqadi.
1.2.1-natijada biz ixtiyoriy o‘rin almashtirishni transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalash mumkin ekanligini isbotladik. Ammo, o‘rin almashtirish- ning bunday ifodasi yagona emas. Masalan, (1 2 3) siklni
(1 2 3) = (1 3) ◦ (1 2) = (1 2) ◦ (2 3)
ifodalaridan tashqari (1 2 3) = (1 2)◦(1 3)◦(2 3)◦(1 2) kabi ham ifodalash mumkin. Ya’ni bunday yoyilmalarda transpozitsiyalar farq qilishi bilan birga ularning soni ham turli bo‘lishi mumkin.
Quyida biz biror o‘rin almashtirishni turli xil ko‘rinishda transpozitsiyalar ko‘paytmalari shaklida ifodalangan bo‘lsa, bunda barcha ifodalardagi transpo- zitsiyalar soni yoki juft yoki toq bo‘lishini ko‘rsatamiz.

Y
Buning uchun dastlab quyidagi belgilash va tushunchalarni kiritib olamiz. Bizga a₁, a₂, . . . , a_n sonlar berilgan bo‘lsin. χ orqali quyidagi ko‘paytmani bel- gilaymiz:

χ =
1≤i≤n

Y
Ixtiyoriy π o‘rin almashtirish uchun
(a_i − a_j).

bo‘lsin.
π(χ) =
1≤i≤n
^(aπ(i) ^{− a}π(j)⁾

1.2.3-ta’rif. Agar π ∈ S_n o‘rin almashtirish uchun π(χ) = χ bo‘lsa, u holda π o‘rin almashtirishga juft o‘rin almashtirish, agar π(χ) = −χ bo‘lsa toq o‘rin almashtirish deyiladi.
Quyidagi lemmada ixtiyoriy transpozitsiyaning toq o‘rin almashtirish ekanli- gini ko‘rsatamiz.
1.2.1-lemma. Ixtiyoriy σ ∈ S_n (n ≥ 2) transpozitsiya uchun σ(χ) = −χ bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, σ = (i j), i < j bo‘lsin. U holda χ ifodada ishtirok etuvchi
a_i−a_j ko‘paytuvchi σ(χ) ifodada a_σ(i)−a_σ(j) = a_j−a_i = −(a_i−a_j) kabi qatnashadi.
Endi ko‘pi bilan bittasi i yoki j ga teng bo‘lgan k, l (k < l) sonlari uchun a_k −a_l
ifodani qarab, quyidagi hollarni tahlil qilamiz.

1. 
   k, l ∈/ {i, j} bo‘lsin, ya’ni k va l larning har ikkalasi i va j dan farq qilsin,
   

u holda a_σ(k) − a_σ(l) = a_k − a_l bo‘lib, ushbu a_k − a_l ko‘paytuvchi χ va σ(χ)
larning ifodasida o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi.

2. 
   l = i bo‘lsin, u holda k < i bo‘lib, χ ko‘paytmada a_k − a_i va a_k − a_j
   

ko‘paytuvchilar ishtirok etadi. Ushbu ko‘paytuvchilar σ(χ) ifodada esa (a_σ(k) − a_σ(i))(a_σ(k) − a_σ(j)) = (a_k − a_j)(a_k − a_i)
kabi bo‘lib, (a_k − a_i)(a_k − a_j) ko‘paytmaning ishorasi o‘zgarmaydi.

3. 
   l = j bo‘lsin. Agar k < i bo‘lsa, biz yana (a_k − a_i)(a_k − a_j) ko‘rinishidagi ko‘paytmaga ega bo‘lib, yuqorida qaralgan holni hosil qilamiz.
   

Agar i < k < j bo‘lsa, u holda χ ifodada (a_i − a_k)(a_k − a_j) ko‘rinishidagi ko‘paytma qatnashib, σ(χ) da esa
(a_σ(i) − a_σ(k))(a_σ(k) − a_σ(j)) = (a_j − a_k)(a_k − a_i) = (a_i − a_k)(a_k − a_j)
bo‘ladi. Demak, bu holda ham (a_i − a_k)(a_k − a_j) ko‘paytma o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi.

4. 
   k = j bo‘lsin, u holda l > j bo‘lib, χ ifodada (a_j − a_l)(a_i − a_l) ko‘rinishidagi ko‘paytma qatnashadi. Ushbu ko‘paytmaning σ(χ) dagi ifo- dasi esa, quyidagicha bo‘ladi
   

(a_σ(j) − a_σ(l))(a_σ(i) − a_σ(l)) = (a_i − a_l)(a_j − a_l).
Ya’ni ushbu holda ham (a_j − a_l)(a_i − a_l) ko‘paytmaning ishorasi o‘zgarmaydi.

5. 
   k = i bo‘lgan hol esa, i < l < j bo‘lganda 3-holga, j < l bo‘lganda esa 4-holga keltiriladi.
   

Demak, a_i − a_j ko‘paytuvchidan boshqa barcha ko‘paytuvchilar yoki o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi yoki ishorasini saqlovchi juftiga ega. Bundan σ(χ) = −χ ekanligi kelib chiqadi.
Yuqoridagi lemmadan π o‘rin almashtirish turli usulda transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishda yozilgan bo‘lsa, ya’ni
π = σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_r = τ₁ ◦ τ₂ ◦ · · · ◦ τ_s,
u holda |r − s| soni doim juft son bo‘lishi kelib chiqadi. Ya’ni r va s sonlari bir vaqtda yoki juft yoki toq bo‘ladi. Haqiqatdan ham, σ_i va τ_j transpozitsiyalar uchun σ_i(χ) = −χ va τ_j(χ) = −χ ekanligini hisobga olsak,
π(χ) = (σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_r)(χ) = σ₁(σ₂(. . . σ_r(χ))) = (−1)^rχ,


π(χ) = (τ₁ ◦ τ₂ ◦ · · · ◦ τ_s)(χ) = τ₁(τ₂(. . . τ_s(χ))) = (−1)^sχ
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bundan esa r va s sonlari bir vaqtda yoki juft yoki toq bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, π ∈ S_n o‘rin almashtirish juft o‘rin almashtirish bo‘lishi uchun uning juft sondagi transpozitsiyalarning ko‘paytmasi ko‘rinishda yozilishi zarur va yetarli ekan.
Uzunligi k ga teng bo‘lgan π = (1 2 . . . k) siklni π = (1 k)◦(1 k −1)◦· · ·◦(1 2) ko‘rinishda yozish mumkin ekanligidan, uning juft o‘rin almashtirish bo‘lishi uchun k toq son bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi kelib chiqadi.
S_n simmetrik gruppaning barcha juft o‘rin almashtirishlari to‘plami A_n kabi belgilanadi.


1.2.1-misol. Juft o‘rin almashtirishlar to‘plami superpozitsiya amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatdan ham, e = (1 2) ◦ (1 2) tenglik o‘rinli ekanligidan e ∈ A_n, ya’ni A_n /= ∅. Ma’lumki, π₁ va π₂ juft o‘rin almashtirishlar uchun π₁ ◦ π₂ ham juft o‘rin almashtirish bo‘lib, bundan esa ◦ amali A_n to‘plamda binar amal ekanligi kelib chiqadi. Agar π ∈ A_n bo‘lsa, u holda π ◦ π⁻¹ = e juft ekanligidan, π⁻¹ ∈ A_n. Demak, (A_n, ◦) gruppa bo‘ladi. Ushbu gruppaga ishora almashishlar gruppasi deb ataladi.

Quyidagi teoremada ishora almashishlar gruppasining ixtiyoriy elementini uzunligi 3 ga teng bo‘lgan sikllar ko‘paytmasi shaklida ifodalash mumkinligini ko‘rsatamiz.

1.2.2-teorema. A_n (n ≥ 3) gruppaning ixtiyoriy elementini uzunligi 3 ga teng bo‘lgan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkin.
Isbot. Aytaylik, π ∈ A_n o‘rin almashtirish berilgan bo‘lib, uning transpo- zitsiyalar ko‘paymasi ko‘rinishidagi ifodasi quyidagicha bo‘lsin
π = σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_2r.
Shuningdek, ixtiyoriy (a, b) transpozitsiyani (a b) = (1 a) ◦ (1 b) ◦ (1 a) ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lganligi uchun o‘rin almashtirish
π = (1 i₁) ◦ (1 i₂) ◦ · · · ◦ (1 i_2m)

shaklga keladi.

Nihoyat, (1 i₁) ◦ (1 i₂) = (1 i₂ i₁) tenglikdan foydalanib, π o‘rin almashtirishni uzunligi 3 ga teng bo‘lgan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishda yozish mumkinligini hosil qilamiz.



1.2.2-misol. Quyidagi π ∈ S₇ o‘rin almashtirishni sikllar ko‘paytmasi shaklida ifodalang
_{π =} 1 2 3 4 5 6 7 _.
6 3 5 2 4 7 1
Yechish. Dastlab,


π(1) = 6, π²(1) = π(6) = 7, π³(1) = π(7) = 1
tengliklardan foydalanib, σ₁ = (1 π(1) π²(1)) = (1 6 7) siklga ega bo‘lamiz. Endi, I₇ to‘plamdan σ₁ siklda mavjud bo‘lmagan elementni, masalan 2 sonini olamiz. U holda,
π(2) = 3, π²(2) = π(3) = 5, π³(2) = π(5) = 4, π⁴(2) = π(4) = 2,
ya’ni σ₂ = (2 3 5 4). Demak, π = σ₁ ◦ σ₂. Q