Abstrakt algebra

1.1.4-ta’rif. Agar G gruppaning elementlari soni chekli bo‘lsa, u holda G gruppa chekli gruppa deyiladi. Chekli gruppaning elementlari soni uning tartibi deyi- ladi va |G| kabi belgilanadi. Elementlari cheksiz ko‘p bo‘lgan gruppalar cheksiz gruppalar deyiladi.

Bizga (G, ∗) gruppa va uning a ∈ G elementi berilgan bo‘lsin. Ushbu element- ning darajalarini quyidagicha aniqlaymiz:

a⁰ = e,
aⁿ = aⁿ⁻¹ ∗ a, n ≥ 1, aⁿ = (a⁻¹)⁻ⁿ, n < 0.

∗
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy k, s butun sonlar uchun a^k a^s = a^k+s tenglik o‘rinli. Agar qandaydir k, s (k > s) butun sonlar uchun a^k = a^s, tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a^k−s = e munosabatga ega bo‘lamiz.
1.1.5-ta’rif. G gruppaning a ∈ G elementi uchun aⁿ = e shartni qanoatlantiruv- chi natural sonlarning eng kichigiga berilgan elementning tartibi deb ataladi. Agar aⁿ = e shartni qanoatlantiruvchi natural son mavjud bo‘lmasa, u holda bu elementning tartibi cheksizga teng deb ataladi. Berilgan a ∈ G elementning tartibi ord(a) kabi belgilanadi.
1.1.8-misol. (Z₆, +₆) gruppani qarasak, bu gruppaning tartibi 6 ga teng, ya’ni
|Z₆| = 6 hamda
ord(0) = 1, ord(1) = 6, ord(2) = 3, ord(3) = 2, ord(4) = 3, ord(5) = 6.
1.1.9-misol. M = {1, i, −1, −i} to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qilib,

ord(1) = 1, ord(i) = 4, ord(−1) = 2, ord(−i) = 4.

Gruppada assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘lganligi uchun, a₁, a₂, . . . , a_n element- larni ko‘paytirishda qavslarning qo‘yilishi ahamiyatli emas, shuning uchun odatda chapdan qo‘yilgan qavslar ishlatilib, ko‘paytma (. . . ((a₁ ∗ a₂) ∗ a₃ . . . ) ∗ a_n) kabi yoziladi.
Bundan tashqari gruppalar uchun quyidagi xossalar ham o‘rinli bo‘lib, biz ularni isbotsiz keltirib o‘tamiz.
1.1.2-tasdiq. (G, ∗) gruppadagi ixtiyoriy a, b, c ∈ G elementlar uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   a ∗ x = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = a⁻¹ ∗ b bo‘ladi.
   
2. 
   x ∗ a = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = b ∗ a⁻¹ bo‘ladi.
   
3. 
   a ∗ b = a ∗ c yoki b ∗ a = c ∗ a tenglikdan b = c kelib chiqadi.
   
4. 
   agar a² = a bo‘lsa, u holda a = e bo‘ladi.
   

Quyidagi teoremada gruppaning elementi tartibi bilan bo‘g‘liq bo‘lgan asosiy xossalarni keltiramiz.

1.1.1-teorema. Aytaylik, G gruppaning a ∈ G elementi uchun ord(a) = n bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:

1. 
   Agar qandaydir m natural son uchun a^m = e bo‘lsa, u holda m soni n ga bo‘linadi.
   
2. 
   
   EKUB(t,n)
   Ixtiyoriy t natural son uchun ord(a^t) = ⁿ .
   

Isbot. 1) Aytaylik, m = qn + r bo‘lsin, bu yerda 0 ≤ r < n. U holda
a^r = a^m−qn = a^m ∗ a^−qn = a^m ∗ (aⁿ)^−q = e.
Berilgan elementning tartibi n ga teng bo‘lganligi uchun n soni aⁿ = e shartni qanoatlantiruvchi eng kichik natural son. a^r = 0 va 0 ≤ r < n ekanligidan esa, r = 0 kelib chiqadi, ya’ni m soni n ga qoldiqsiz bo‘linadi.

d
2) Aytaylik, ord(a^t) = k bo‘lsin, u holda a^tk = (a^t)^k = e. Demak, tk soni n ga bo‘linadi, ya’ni tk = nr. Agar EKUB(t, n) = d bo‘lsa, u holda t = du, n = dv, EKUB(u, v) = 1 bo‘lib, tk = nr ekanligidan duk = dvr tenglikka, bundan esa uk = vr munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa, uk soni v soniga bo‘linishini anglatadi. Bundan esa, EKUB(u, v) = 1 ekanligini hisobga olsak, k soni v = ⁿ
soniga bo‘linishi kelib chiqadi.
n
Endi (a^t) ^d elementni qaraymiz:

_t ⁿ nt
ndu _nu

(a ) ^d = a ^d = a
^d = a
= e.

d
Bu tenglikdan, ord(a^t) = k ekanligini hisobga olgan holda, ⁿ
soni k ga

bo‘linishini keltirib chiqaramiz. Demak, k = ⁿ, ya’ni ord(a^t) = ⁿ .
d EKUB(t,n)
Yuqoridagi teoremaning isbotidan osongina ko‘rish mumkinki, agar a element-
ning tartibi n ga teng bo‘lsa, u holda
e, a, a², . . . aⁿ⁻¹
elementlar turli bo‘lib, ixtiyoriy m butun son uchun a^m element ulardan biriga teng bo‘ladi.

1+ab
1.1.10-misol. G = (−1; 1) intervaldan iborat bo‘lgan to‘plamning a ∗ b = ^a+b
amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.

2 2
Yechish. Dastlab ushbu amal haqiqatdan ham binar amal bo‘lishini tekshi- ramiz, ya’ni a, b ∈ G ekanligidan a ∗ b ∈ G kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Buning uchun a < 1, b < 1 ekanligidan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
(1 − a²)(1 − b²) > 0,

1 − a² − b² + a²b² > 0,

a² + b² < 1 + a²b²,
a² + 2ab + b² < 1 + 2ab + a²b²,
(a + b)² < (1 + ab)²,

._. ._.
a + b
1 + ab ^{< 1.}
Demak, haqiqatdan ham a ∗ b ∈ G bo‘ladi. Quyidagi

a + b
a+b _{+ c}
a + b + c + abc

(a ∗ b) ∗ c =
va


1 + ab
∗ c =
1+ab

1 + c
a+b
1+ab
,

=
1 + ab + ac + bc

a ∗ (b ∗ c) = a ∗
b + c
=
1 + bc
b+c

1 + a

a +
1+bc b+c 1+bc
a + b + c + abc
=
1 + ab + ac + bc

tengliklardan assosiativlik xossasining o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Ushbu algeb- raik sistemada birlik element vasifasini e = 0 bajarib, ixtiyoriy a ∈ G elementning teskarisi esa −a bo‘ladi. Demak, (G, ∗) gruppa bo‘ladi. Q
1.1.11-misol. Tartibi juft songa teng bo‘lgan gruppada a² = e shartni qanoat-
lantiruvchi a e element mavjud ekanligini ko‘rsating.


Yechish. Bizga G gruppa beringan bo‘lib, |G| = 2n bo‘lsin. Ma’lumki, agar qandaydir a ∈ G element uchun a⁻¹ = a bo‘lsa, u holda a² = e bo‘ladi.
A = {g ∈ G | g⁻¹ /= g} to‘plamni qaraymiz. Ma’lumki, e ∈/ A bo‘lib, A
to‘plamda yotuvchi biror elementning teskarisi ham shu to‘plamda yotadi. Demak, A to‘plamning elementlari soni juft son bo‘lib, A =/ G. Bundan esa, A to‘plamda yotmaydigan birlik elementdan farqli, a ∈ G element mavjudligi kelib chiqadi,
ya’ni a e, a⁻¹ = a. Demak, a² = e. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Quyidagi to‘plamlar keltirilgan amallarga nisbatan gruppa bo‘ladimi?
      
      • 
        (nZ, +) – natural n soniga karrali butun sonlar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan;
        
      • 
        ({2n+1 | n ∈ Z}, +) – barcha toq butun sonlar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan;
        
      • 
        (R₊, ·) – musbat haqiqiy sonlar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan;
        
      • 
        ({z ∈ C | zⁿ = 1}, ·) – birning n-darajali barcha kompleks ildizlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan;
        

• 
  (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = a kabi aniqlangan amalga nis- batan;
  
• 
  
  2
  (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = ^a+b kabi aniqlangan amalga
  

nisbatan;

• 
  (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = a^b kabi aniqlangan amalga nis- batan;
  
• 
  (M × M, ∗) to‘plam, (x, y) ∗ (z, t) = (x, t) kabi aniqlangan amalga nis- batan, bu yerda M qandaydir to‘plam, M × M – dekart ko‘paytma.
  
1. 
   G = R \ {1} to‘plamni a ∗ b = a + b − ab amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.
   
2. 
   G = R \ {−1} to‘plamni a ∗ b = a + b + ab amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.
   
3. 
   G = {(a, b)| a, b ∈ R, b /= 0} to‘plamdan olingan ixtiyoriy (a, b), (c, d) ∈ G elementlar o‘rtasida ∗ binar amal (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd) ko‘rinishida aniqlansa, u holda (G, ∗) nokommutativ gruppa bo‘lishini isbotlang.
   
4. 
   Quyidagi matritsalar to‘plaminining qaysilari matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan gruppa bo‘lishini aniqlang.
   

• 
  
  c d
  G = ( ^{a b}
  
• 
  
  c d
  G = ( ^{a b}
  
• 
  
  0 c
  G = ( ^{a b}
  

| a, b, c, d ∈ Z).
| a, b, c, d ∈ 2Z).
| a, b, c ∈ R).



^ | a, b, c ∈ R_ .

• 
  G = 0 1 c
  

0 0 1

^_ _{1 a b}  ^_

6. 
   
   ( •
   Quyidagi matritsalar to‘plaminining qaysilari matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan gruppa bo‘lishini aniqlang.
   

_{G =} a b
−b a
| a² + b² =/ 0, a, b ∈ R).

• 
  
  c d
  G = ( ^{a b} | ad − bc = 1, a, b, c, d ∈ R).
  

• 
  
  0 1
  G = ( ^{1 n} | n ∈ Z).
  



^ | a, b, c ∈ R_ .

• 
  G = 0 1 c
  

0 0 1

^_ _{1 a b}  ^_

7. 
   Quyidagi matritsalar to‘plami ko‘rsatilgan amallarga nisbatan gruppa bo‘ladimi?
   
   • 
     Simmetrik matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.
     
   • 
     Simmetrik matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.
     
   • 
     Determinanti noldan farqli bo‘lgan matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.
     
   • 
     Determinanti noldan farqli bo‘lgan matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.
     
   • 
     Dioganal ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.
     
   • 
     Dioganal ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nis- batan.
     
   • 
     Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.
     
   • 
     Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami ko‘paytirish ama- liga nisbatan.
     
   • 
     Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi teskarilanuvchi matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.
     
   • 
     Barcha ortogonal (A^T A = AA^T = E shartni qanoatlantiruvchi) matri- tsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.
     
8. 
   Biror X to‘plamni o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi barcha akslantirishlar to‘plami, superpozitsiya amaliga nisbatan yarim gruppa tashkil qilib, gruppa bo‘lmasligini ko‘rsating.
   
9. 
   
   cx+d
   y = ^ax+b, a, b, c, d ∈ R, ad − bc /= 0 ko‘rinishidagi funksiyalar to‘plami super- pozitsiya amaliga gruppa tashkil qilishini isbotlang.
   
10. 
    U₆, U₇, U₉, U₁₂, U₂₄ gruppalarning elementlarini ko‘rsating.
    
11. 
    (Z₁₂, +) gruppa elementlarining tartiblarini aniqlang.
    
12. 
    (U₉, ·) gruppa elementlarining tartiblarini aniqlang.
    

13. 
    (GL₂(R), ·) gruppaning tartibi 2 ga teng bo‘lgan barcha elementlarini toping.
    
14. 
    Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a ∈ G elementi uchun a² = e tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ ekanligini isbotlang.
    
15. 
    Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun (a ∗ b)² = a² ∗ b²
    

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ ekanligini isbotlang.

16. 
    (G, ∗) gruppa kommutativ bo‘lishi uchun, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun (a∗b)⁻¹ = a⁻¹ ∗b⁻¹ tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
17. 
    Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a⁴ = e va a² ∗ b = b ∗ a
    

bo‘lsa, u holda a = e ekanligini ko‘rsating.

18. 
    Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a ∗ b = b ∗ a⁻¹ va b ∗ a =
    

a ∗ b⁻¹ bo‘lsa, u holda a⁴ = b⁴ = e ekanligini isbotlang.

19. 
    Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a² = e va a ∗ b⁴ ∗ a = b⁷
    

33
bo‘lsa, u holda b = e ekanligini ko‘rsating.

20. 
    Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a⁻¹ ∗ b² ∗ a = b³ va
    

b⁻¹ ∗ a² ∗ b = a³ bo‘lsa, u holda a = b = e ekanligini ko‘rsating.

21. 
    (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun quyidagilarni isbot- lang:
    
    • 
      ord(a) = ord(a⁻¹);
      
    • 
      ord(a) = ord(b ∗ a ∗ b⁻¹);
      
    • 
      ord(a ∗ b) = ord(b ∗ a).
      
22. 
    Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a ∗ b = b⁵ ∗ a³ munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda ord(b ∗ a⁻¹) = ord(b⁵ ∗ a) = ord(b³ ∗ a³) ekanligini isbotlang.
    
23. 
    Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun ord(a) = n, ord(b) = m, (n, m) = 1 va a ∗ b = b ∗ a munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda ord(a ∗ b) = nm ekanligini isbotlang.
    

2.