Abstrakt algebra

1.1.1-ta’rif. Agar (S, ∗) algebraik sistemada ixtiyoriy a, b, c ∈ S elementlar uchun assosiativlik xossasi, ya’ni

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (S, ∗) algebraik sistemaga yarim gruppa deyiladi.

1.1.2-misol.

• 
  (N, +), (N, ·), (Z, ·) algebraik sistemalar yarim gruppa bo‘ladi.
  
• 
  A to‘plamda olingan ixtiyoriy x, y elementlar uchun ∗ amali x ∗ y = x
  

ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, (A, ∗) algebraik sistema yarim gruppa bo‘ladi.
1.1.2-ta’rif. Agar (M, ∗) yarim gruppada shunday e ∈ M element mavjud bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ M element uchun


e ∗ a = a ∗ e = a
tenglik bajarilsa, u holda (M, ∗) yarim gruppaga monoid deyiladi. Ushbu e ele- mentga esa birlik element deb ataladi.

1.1.3-misol.

• 
  (Z, ·), (N, ·), (Z, +) algebraik sistemalar monoid tashkil qiladi.
  
• 
  (M_n(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.
  
• 
  (M_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.
  

Endi asosiy tushuncha hisoblangan gruppaning ta’rifini keltiramiz.


1.1.3-ta’rif. Agar (G, ∗) monoid berilgan bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ G element uchun
a⁻¹ ∗ a = a ∗ a⁻¹ = e

∈ ∗
tenglikni qanoatlantiruvchi a⁻¹ G element mavjud bo‘lsa, u holda (G, ) algeb- raik sistemaga gruppa deyiladi. a⁻¹ element esa a elementning teskari ele- menti deb ataladi.
Demak, gruppa bu biror to‘plamda aniqlangan algebraik amalga nisbatan as- sosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladigan, birlik elementi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy ele- menti teskarilanuvchi bo‘ladigan algebraik sistema ekan.
Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun
a ∗ b = b ∗ a
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Kommutativ bo‘lmagan gruppa esa nokommutativ gruppa deyiladi.

1.1.4-misol.

• 
  (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi.
  
• 
  (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi.
  
• 
  (M_n(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.
  
• 
  (GL_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti noldan farqli bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi.
  
• 
  (SL_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti 1 ga teng bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi.
  

Qiyudagi misolda X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan P (X) oilani qarab, bu oila ikki to‘plamning birlashmasi, kesishmasi va simmetrik ayirmasi kabi amallarga nisbatan qanday algebraik sistema tashkil qilishini aniqlaymiz.
1.1.5-misol. Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan
P (X) sistema uchun quyidagilar o‘rinli bo‘ladi:

• 
  P (X) to‘plam birlashma ∪ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∪) gruppa emas. Haqiqatdan ham, birlashma amali binar amal bo‘lib, ushbu amal uchun assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladi. Birlik element vazi- fasini e = ∅ bajarsa, bo‘sh to‘plamdan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teska- rilanuvchi emas. Shuning uchun (P (X), ∪) monoid bo‘lib, gruppa tashkil qilmaydi.
  
• 
  P (X) to‘plam kesishma ∩ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∩) gruppa emas. Bu yerda ham aniqlangan amal binar amal bo‘lishi va assosiativlikning bajarilishi ravshan. Birlik element vazifasini e = X ba- jarsa, X dan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teskarilanuvchi emas.
  
• 
  
  ∈
  P (X) to‘plam simmetrik ayirma Δ amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Chunki, simmetrik ayirmaga nisbatan birlik element e = ∅ bo‘lib, ixtiyoriy A P (X) elementning teskarisi o‘ziga teng bo‘ladi, ya’ni A⁻¹ = A.
  

Bizga sonlar nazariyasidan ma’lumki, ixtiyoriy n natural son uchun Z_n =
{0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfini hosil qilish mumkin, hamda bu chegirmalar sinfida qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlanadi.
1.1.6-misol. Z_n = {0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfi uchun quyidagilar o‘rinli:

• 
  (Z_n, +_n) kommutativ gruppa tashkil qiladi.
  
• 
  (Z_n, ·_n) monoid tashkil qiladi, lekin gruppa bo‘lmaydi.
  

1.1.7-misol. (Z_n, ·_n) monoidning barcha teskarilanuvchi elementlari to‘plami
U_n = {a ∈ Z_n \ {0} | (a, n) = 1}
ko‘rinishida bo‘lib, bu to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ya’ni (U_n, ·_n) kommutativ gruppa.
Endi gruppaning ba’zi sodda xossalarini o‘z ichiga olgan qiyudagi tasdiqni keltiramiz.
1.1.1-tasdiq. Ixtiyoriy (G, ∗) gruppa uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   Gruppaning birlik elementi yagona.
   
2. 
   Ixtiyoriy a ∈ G element uchun yagona teskari element mavjud.
   
3. 
   Ixtiyoriy a ∈ G element uchun (a⁻¹)⁻¹ = a.
   
4. 
   Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.
   

Isbot. 1) Faraz qilaylik (G, ∗) gruppada ikkita e₁ va e₂ birlik elementlar mavjud bo‘lsin. U holda e₁ ∗ e₂ ko‘paytmani qarasak, e₁ element birlik element bo‘lganligi uchun e₁ ∗ e₂ = e₂. Ikkinchi tomondan esa, e₂ element birlik element bo‘lganligi uchun e₁ ∗ e₂ = e₁. Demak, e₁ = e₂.

2. 
   Faraz qilaylik a ∈ G element uchun ikkita teskari element mavjud bo‘lsin, ya’ni shunday b, c ∈ G elementlar mavjud bo‘lib,
   

a ∗ b = b ∗ a = e, a ∗ c = c ∗ a = e
bo‘lsin. Quyidagi tengliklardan b va c elementlarning tengligini hosil qilamiz:
b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
Demak, a elementga teskari element yagona.

2. 
   a ∈ G elementning teskarisi a⁻¹ bo‘lganligi uchun
   

a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e.
Faraz qilaylik, b ∈ G element a⁻¹ ga teskari element bo‘lsin. U holda
b ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ b = e.
Bu tengliklardan biz a va b elementlar a⁻¹ ga teskari element ekanligini hosil qil- amiz. 2)-xossaga ko‘ra ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona bo‘lganligi uchun b = a ekanligi kelib chiqadi. b element a⁻¹ ning teskarisi ekanligidan (a⁻¹)⁻¹ = a bo‘ladi.

2. 
   Bizga a, b ∈ G elementlar berilgan bo‘lib, a⁻¹ va b⁻¹ elementlar ularning
   

teskari elementlari bo‘lsin, ya’ni
a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e, b ∗ b⁻¹ = b⁻¹ ∗ b = e.
Quyidagi tengliklarni qaraymiz
(a ∗ b) ∗ (b⁻¹ ∗ a⁻¹) = (a ∗ (b ∗ b⁻¹)) ∗ a⁻¹ = (a ∗ e) ∗ a⁻¹ = a ∗ a⁻¹ = e.
(b⁻¹ ∗ a⁻¹) ∗ (a ∗ b) = (b⁻¹ ∗ (a⁻¹ ∗ a)) ∗ b = (b⁻¹ ∗ e) ∗ b = b⁻¹ ∗ b = e.
Ushbu tengliklardan a ∗ b elementning teskarisi b⁻¹ ∗ a⁻¹ ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
(a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.

Endi gruppaning tartibi va gruppa elementi tartibi tushunchalarini kiritamiz.