Agar b fazoviy sohaning har bir m nuqtasiga tо„liq aniqlangan φ(M) son

Vektor maydonning divergensiyasi.
α(M) vektor maydonning asosiy differensial xarakteristikalaridan biri – uning
divergensiyasidir. (5) vektor maydonningdivergensiyasi deb
divα=𝜕P/𝜕x+ 𝜕Q/𝜕y+ 𝜕R/𝜕z
ifodaga aytiladi. Divergensiya quyidagi xossalarga ega:

div(c₁α₁+-c₂α₂)=c₁divα₁+ c₂divα₂ (chiziqliligi),

div(φα)=φdivα+αgradφ
agar α=const bо’lsa, divα=0 va div(φα)= αgradφ.
B sohada 𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀)=0 tenglikni qanoatlantiradigan 𝑎(𝑀)vektor maydon bu
sohada solenoidal (naysimon) maydon deyiladi.
Vektor maydon rotori.
Dekart koordinatalari sistemasida (5) formula bilan berilgan 𝑎 𝑀
vektor maydonining rotori deb

𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑜𝑡𝑎(𝑀) = 𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧=(𝜕𝑅/𝜕𝑦- 𝜕𝑄/𝜕𝑧)𝑖+(𝜕𝑃/𝜕𝑧- 𝜕𝑅/𝜕𝑥)𝑗+(𝜕𝑄/𝜕𝑥- 𝜕𝑃/𝜕𝑦) 𝑘

𝑃 𝑄 𝑅 (6)

ifodaga aytiladi. (6) formuladagi determinant birinchi satr elementlari bо’yicha

yoyilayotganda, ikkinchi satr elementlarining uchinchi satr elementlariga kо’paytmasi
sifatida tegishli xususiy hosilatushiniladi.
Masalan,
𝜕/𝜕𝑥∙𝑄=𝜕𝑄/𝜕𝑥.
Rotorning differensiallash bilan bog„liq xossalari ;
1) 𝑟𝑜𝑡(𝑐₁𝑎₁+𝑐₂𝑎₂₎=𝑐₁𝑟𝑜𝑡𝑎₁+𝑐₂𝑟𝑜𝑡𝑎₂,
2) 𝑟𝑜𝑡(𝜑𝑎)=[𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 ∙ 𝑎]+ 𝜑 𝑟𝑜𝑡𝑎,
3)agar 𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bо’lsa, u holda 𝑟𝑜𝑡𝑎=0 va 𝑟𝑜𝑡(𝜑𝑎)= = [𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑𝑎 ]
Agar B sohada 𝑟𝑜𝑡𝑎 𝑀 = 0 bо’lsa, bu sohada 𝑎 (𝑀) uyurmasiz maydon deyiladi. Ostrogradskiy teoremasi.
Agar 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyalar biror yopiq Vsohada uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bо’lib, Vsohani chegaralovchi 𝐵 sirt esa bо’lakli-silliq bо’lsa,
Ostrogradskiy formulasi deb ataladigan quyidagi tenglik о’rinli bо’ladi.
∫∫∫_V(𝜕𝑃/𝜕𝑥+𝜕𝑄/𝜕𝑦+𝜕𝑅/𝜕𝑧𝑑𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑧=
= ∯_B(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾 )𝑑𝐵
bunda cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾 lar 𝐵 sirtga о„tkazilgan 𝑛 birlik normalning yо‘naltiruvchi
kosinuslari.
Ostrogradskiy formulasi vektor shaklida quyidagicha ifodalanadi;
П(𝑎𝐵)= ∯𝑎∙𝑛𝑑𝐵 = ∫∫∫_V 𝑑𝑖𝑣𝑎 ∙𝑑𝑣
Ya’ni vektor maydoning yopiq 𝐵 sirt bо„yicha oqimi, uning divergensiyasidan 𝐵 sirt

]chegaralab turgan V hajm bо„yicha olingan integralga teng. Ostrogradskiy formulasini

tadbiq qilish, kо‘pgina hollardda yopiq sirt bо‘yicha maydon oqimini hisoblashni
soddalashtiradi. Xususan, bu formuladan solenoidal maydonning (𝑑𝑖𝑣 𝑎 = 0) har qanday
yopiq sirt bо„yicha oqimi 0 ga tengligi kelib chiqadi.Ostrogradskiy formulasi
yordamida divergensiyaningmexanik ma‟nosini aniqlashimiz mumkin 𝑀0− vektor
maydon aniqlangan sohadagi tayinlangan nuqta, 𝐵- markazi 𝑀0 dabо‘lgan sfera bо‘lsin.
О‘rta qiymat haqidagi teoremaga kо‘ra
∫∫∫_V 𝑑𝑖𝑣𝑎𝑑𝑣 = 𝑉(𝐵)𝑉𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀) ,
Bunda 𝑉 (𝐵 ) − 𝐵 sfera bilan chegaralangan sharning hajmi, 𝑀 − shardan olingan biror nuqta, bundan va Ostrogradskiy formulasidan
𝑑𝑖𝑣 𝑎(𝑀) =П(𝑎,𝐵)/𝑉(𝐵).
Bu tenglikda 𝐵 sferaning s radiusini 0 ga intiltirib limitga o‘tsak, divergensiyaning 𝑀0
nuqtadagi qiymati uchun
𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀₀)= lim_𝑠→0П(𝑎 , 𝐵)/𝑉(𝐵)
tenglik hosil bо‘ladi. Bundan kо‘rinadiki, 𝑎 maydonning 𝑀₀ nuqtadagi divergensiyasi,
shu maydoning 𝑀₀ nuqtaga kirayotgan (𝑑𝑖𝑣 𝑎(𝑀₀) < 0 bo′lganda) oqimning hajmi bо„yicha
zichligini anglatar ekan.