Aksioma aksioma

Chegaralanmagan operatorlar[tahrir]
Chegaralanmagan operatorlar Hilbert bo'shliqlarida ham harakatlanishi mumkin va kvant mexanikasi uchun muhim dasturlarga ega.^[62] cheksiz operator T Hilbert maydonida H domeni bo'lgan chiziqli operator sifatida aniqlanadi D(T) ning chiziqli subspace hisoblanadi H. ko'pincha domen D(T) ning zich subspace hisoblanadi H, bu holda T zich belgilangan operator sifatida tanilgan.
Zich belgilangan chegaralanmagan operatorning qo'shilishi asosan chegaralangan operatorlar bilan bir xil tarzda belgilanadi. O'z-o'zidan bog'langan chegaralanmagan operatorlar kvant mexanikasining matematik formulasida kuzatiladigan narsalarning rolini o'ynaydi. O'z-o'zidan bog'langan cheksiz operatorlarga misollar Hilbert maydoni L ² (R) quyidagilar: ^[63]
Differentsial operatorning mos kengaytmasi
{\displaystyle (Af)(x)=-i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\,,}

qayerda men xayoliy birlik va f ixcham qo'llab-quvvatlashning farqlanadigan funktsiyasi.
Ko'paytirish-tomonidan-x operator:
{\displaystyle (Bf)(x)=xf(x)\,.}

Bu momentum va pozitsiya kuzatiladigan narsalarga mos keladi. E'tibor bering, na a va na B barchasi bo'yicha belgilanadi H, chunki a holatida lotin mavjud bo'lmasligi kerak va b holatida mahsulot funktsiyasi kvadrat bilan birlashtirilishi shart emas. Ikkala holatda ham mumkin bo'lgan argumentlar to'plami zich subspaces hosil qiladi L ² (R).
Qurilish[tahrir]
Bevosita yig'indilar[tahrir]
Ikki Hilbert bo'shliqlari H ₁ va H ₂ deb nomlangan boshqa Hilbert maydoniga birlashtirilishi mumkin (ortogonal) to'g'ridan-to'g'ri summa, ^[64] va belgilanadi
{\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}

barcha buyurtma qilingan juftliklar to'plamidan iborat (x ₁, x ₂), bu erda x _{menbezak h i}, i = 1, 2 va ichki mahsulot tomonidan belgilanadi
{\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}

Umuman olganda, Agar H men tomonidan indekslangan Hilbert bo'shliqlari oilasi menbezak men, keyin to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi H _men, belgilangan
{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}

barcha indekslangan oilalar to'plamidan iborat
{\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}|i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}

ning Dekart mahsulotida H _i shunday
{\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}

Ichki mahsulot bilan belgilanadi
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}

Har biri H _men yopiq subspace sifatida kiritilgan to'g'ridan-to'g'ri summa barchasining H _men. Bundan tashqari, H _i juft ortogonaldir. Aksincha, agar yopiq subspaces tizimi mavjud bo'lsa, V men, menbezak men, Hilbert fazosida H, bu juft ortogonal va kimning birlashma zich H, keyin H ning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisiga kanonik izomorfikdir v _i. bu holda, H deyiladi ichki to'g'ridan-to'g'ri summa ning V _i. to'g'ridan-to'g'ri summa (ichki yoki tashqi), shuningdek, ortogonal proektsiyalar oilasi bilan jihozlangan e _i ustiga men th to'g'ridan-to'g'ri summand h _i. Bu prognozlar chegaralangan, o'z-o'zidan tutashgan, ortogonallik shartini qondiradigan idempotent operatorlar
{\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}

Hilbert fazosidagi ixcham o'ziga qo'shni operatorlar uchun spektral teorema H h operatorning xususiy fazolarining ortogonal to'g'ridan-to'g'ri yig'indisiga bo'linishini, shuningdek operatorning xususiy fazolarga proektsiyalar yig'indisi sifatida aniq dekompozitsiyasini beradi. Hilbert bo'shliqlarining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi ham paydo bo'ladi kvant mexanikasi o'zgaruvchan miqdordagi zarrachalarni o'z ichiga olgan tizimning Fok maydoni sifatida, bu erda to'g'ridan-to'g'ri yig'indidagi har bir Hilbert maydoni kvant mexanik tizimi uchun qo'shimcha erkinlik darajasiga to'g'ri keladi. Yilda vakillik nazariyasi, Piter-Veyl teoremasi Hilbert fazosidagi ixcham guruhning har qanday unitar vakili cheklangan o'lchovli tasvirlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi sifatida bo'linishini kafolatlaydi.