Aksioma aksioma

Rag'batlantiruvchi misol: Evklid vektor fazosi[tahrir]
Hilbert fazosining eng tanish misollaridan biri bu Evklid vektor maydoni tomonidan belgilangan uch o'lchovli vektorlardan iborat R ^3va bilan jihozlangan nuqta mahsuloti. Skalyar ko'paytma ikkita vektorni oladi x va yva haqiqiy sonni hosil qiladi xbajaraviy y. agar x va y Dekart koordinatalarida ifodalangan bo'lsa, u holda skalyar ko'paytma bilan belgilanadi
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}

Nuqta mahsuloti xususiyatlarni qondiradi:
U simmetrik bilan x va y: x ⋅ y = y ⋅ x.
U o'zining birinchi argumentida chiziqli: (a x ₁ + b x ₂) har qanday a, b skalyar va _x 1, x 2 va y vektorlar uchun(a x 1 + b x 2) x = _a (x 1 x x ₂ x).
Bu ijobiy aniq: barcha vektorlar uchun x, x, x, x, x, x, x, x, x, x = 0 bo'lsa , tenglik bilan.
Nuqta mahsuloti singari ushbu uchta xususiyatni qondiradigan vektorlar juftligidagi operatsiya (haqiqiy) ichki mahsulot deb nomlanadi. Bunday ichki mahsulot bilan jihozlangan vektor maydoni (haqiqiy) ichki mahsulot maydoni deb nomlanadi. Har bir cheklangan o'lchovli ichki mahsulot maydoni ham A Hilbert maydoni.^[1] nuqta mahsulotining uni Evklid geometriyasi bilan bog'laydigan asosiy xususiyati shundaki, u vektorning uzunligi (yoki normasi) bilan belgilanadi ||x|/, va burchakka, ikkita vektor orasidagi x va y formula orqali
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}


To'liqlik shuni anglatadiki, agar zarracha buzilgan yo'l bo'ylab (ko'k rangda) cheklangan umumiy masofani bosib o'tsa, u holda zarracha aniq belgilangan aniq siljishga ega (to'q sariq rangda).
Ko'p o'zgaruvchan hisoblash yilda Evklid fazosi hisoblash qobiliyatiga asoslanadi chegaralar va chegaralar mavjud degan xulosaga kelish uchun foydali mezonlarga ega bo'lish. Matematik qator
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}

vektorlardan iborat R ³ uzunliklarning yig'indisi haqiqiy sonlarning oddiy qatori sifatida birlashishi sharti bilan mutlaqo konvergentdir: ^[2]
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}

Xuddi bir qator skalar bilan bo'lgani kabi, mutlaqo yaqinlashadigan bir qator vektorlar ham ba'zi bir chegara vektoriga yaqinlashadi L Evklid fazosida, bu ma'noda
{\displaystyle \left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|\to 0\quad {\text{as }}N\to \infty \,.}

Bu xususiyat Evklid fazosining to'liqligini ifodalaydi: mutlaqo yaqinlashadigan seriya ham oddiy ma'noda yaqinlashadi.
Hilbert bo'shliqlari ko'pincha murakkab sonlar ustidan olinadi. Bilan belgilangan murakkab tekislik C tushunchasi bilan jihozlangan kattalik, murakkab modul / z/, ning mahsulotining kvadrat ildizi sifatida aniqlanadi z uning bilan murakkab konjugat:
{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}

Agar z = x + iy ning parchalanishi z uning haqiqiy va xayoliy qismlariga, keyin modul odatiy Evklid ikki o'lchovli uzunligi:
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}

Juft kompleks sonlarning ichki mahsuloti z va v ning hosilasi z ning murakkab konjugati bilan v:
{\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}

Bu murakkab-qimmatli. Ning haqiqiy qismiuchunkompyuter z, vbuchunkompyuter odatiy ikki o'lchovli Evklid skalyar mahsulotini beradi.
Ikkinchi misol bo'sh joy C ² kimning elementlari juft kompleks sonlar z = (z ₁, z ₂). Keyin ning ichki mahsuloti z boshqa shunday vektor bilan v = (v ₁, v ₂) tomonidan berilgan
{\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w_{1}}}+z_{2}{\overline {w_{2}}}\,.}

Real qismi ⟨z, w⟩ keyin ikki o'lchovli Euclidean nuqta mahsulot. Ushbu ichki mahsulot Hermitiyalik nosimmetrikdir, ya'ni almashinish natijasi z va v murakkab konjugat:
{\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}

Ta'rifi[tahrir]
A Hilbert maydoni H haqiqiy yoki murakkab ichki mahsulot maydoni bu ham to'liq metrik bo'shliq ga nisbatan masofa funktsiyasi ichki mahsulot tomonidan qo'zg'atilgan.^[3]
Buni aytish H bu murakkab ichki mahsulot maydoni degani H bu murakkab vektor maydoni bo'lib{\displaystyle \langle x,y\rangle } , unda kompleks sonni har bir juft elementiga bog'laydigan ichki mahsulot mavjud {\displaystyle x,y} H bu quyidagi xususiyatlarni qondiradi:
Ichki mahsulot konjugat nosimmetrikdir; ya'ni juft elementlarning ichki mahsuloti almashtirilgan elementlarning ichki mahsulotining murakkab konjugatiga teng:
{\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}

Muhimi, bu haqiqiy raqam ekanligini anglatadi{\displaystyle \langle x,x\rangle } .
Ichki mahsulot birinchi[nb 1] argumentida ^chiziqli. Barcha murakkab sonlar uchun {\displaystyle a} va {\displaystyle b,}
{\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}

Elementning o'zi bilan ichki mahsuloti ijobiy aniq:
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}

1 va 2-xususiyatlardan kelib chiqadiki, murakkab ichki mahsulot antilinear bo'lib, ikkinchi argumentida konjugat chiziqli deb ham ataladi, ya'ni
{\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}

Haqiqiy ichki mahsulot maydoni xuddi shu tarzda aniqlanadi, bundan tashqari H haqiqiy vektor maydoni va ichki mahsulot haqiqiy qiymatlarni oladi. Bunday ichki mahsulot bilinear xarita {\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} bo'ladi va ikki tomonlama tizim hosil qiladi.^[4]
Norm-bu haqiqiy qiymatli funktsiya
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}

va {\displaystyle d} ikki nuqta orasidagi masofa {\displaystyle x,y} H tomonidan norma bo'yicha aniqlanadi
{\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}

Ushbu funktsiya masofa funktsiyasi ekanligi, birinchi navbatda uning nosimmetrik {\displaystyle x} {\displaystyle y,} ekanligini, ikkinchidan va o'zi orasidagi masofa {\displaystyle x} nolga teng ekanligini, aks holda va orasidagi masofa {\displaystyle x} {\displaystyle y} ijobiy bo'lishi kerakligini va nihoyat uchburchak tengsizligi ushlab turishini anglatadi, ya'ni uchburchakning bir oyog'i uzunligi xyz ning yig'indisidan oshmasligi kerak qolgan ikki oyoqning uzunligi:
{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}


Ushbu oxirgi xususiyat oxir-oqibat yanada asosiy natijadir Koshi–Shvarts tengsizligi, bu tasdiqlaydi
{\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}

tenglik bilan agar va faqat agar {\displaystyle x} va {\displaystyle y} chiziqli bog'liq bo'lsa.
Shu tarzda aniqlangan masofa funktsiyasi bilan har qanday ichki mahsulot maydoni metrik bo'shliq bo'lib, ba'zan A deb nomlanadi Hausdorff Hilbertgacha bo'lgan bo'shliq.^[5] Hilbertgacha bo'lgan har qanday bo'shliq, bu qo'shimcha ravishda to'liq bo'shliqdir Hilbert maydoni.
Ning to'liqligi H ning shakli yordamida ifodalanadi Koshi mezonlari ketma-ketliklar uchun H: Hilbertgacha bo'lgan bo'shliq H agar har bir Koshi ketma -ketligi ushbu me'yorga nisbatan kosmosdagi elementga yaqinlashsa, to'liq bo'ladi. To'liqlikni quyidagi ekvivalent shart bilan tavsiflash mumkin: agar bir qator vektorlar bo'lsa
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}

bu ma'noda mutlaqo yaqinlashadi
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}

keyin seriya yaqinlashadi H, qisman yig'indilar elementiga yaqinlashadigan ma'noda H.
To'liq normalangan makon sifatida Hilbert bo'shliqlari ta'rifi bo'yicha ham Banach bo'shliqlari. Shunday qilib, ular topologik vektor bo'shliqlari, unda topologik tushunchalar kabi ochiqlik va yopiqlik pastki to'plamlar yaxshi aniqlangan. A tushunchasi alohida ahamiyatga ega yopiq chiziqli subspace A Hilbert maydoni bilan ichki mahsulot cheklash bilan qo'zg'atilgan, shuningdek, to'liq (to'liq metrik bo'shliqda yopiq to'plam) va shuning uchun o'z-o'zidan Hilbert maydoni.