Aksioma aksioma

Ikkinchi misol: ketma-ketlik fazolari[tahrir]
Ketma-ketlik maydoni l ² barcha cheksiz ketma -ketliklardan iborat z = (z ₁, z ₂, ...) ning murakkab sonlar shunday qilib quyidagi qator yaqinlashadi:
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}

L ^{2-dagi ichki mahsulot} bilan belgilanadi:
{\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}}\,,}

Ushbu ikkinchi seriya Koshi–Shvarts tengsizligi va oldingi seriyaning yaqinlashishi natijasida yaqinlashadi.
Bo'shliqning to'liqligi, agar l ^{2 dan bir qator elementlar} mutlaqo yaqinlashsa (normada), keyin u l ^{2 elementiga yaqinlashadi}. Isbot matematik tahlilda asosiy hisoblanadi va kosmik elementlarning matematik seriyasini murakkab sonlar qatori (yoki cheklangan o'lchovli Evklid fazosidagi vektorlar) bilan bir xil osonlik bilan boshqarishga imkon beradi.^[6]
Tarix[tahrir]

David Hilbert
Rivojlanishidan oldin Hilbert bo'shliqlari, Evklid bo'shliqlarining boshqa umumlashtirilishi matematiklar va fiziklarga ma'lum bo'lgan. Xususan, mavhum chiziqli makon g'oyasi (vektor maydoni) 19-asrning oxirlarida biroz tortishish kuchiga ega edi: ^[7] bu bo'shliq, uning elementlari birlashtirilishi va ko'paytirilishi mumkin skalar (haqiqiy yoki murakkab sonlar kabi) ushbu elementlarni "geometrik"bilan aniqlamasdan vektorlar, masalan, fizik tizimlardagi pozitsiya va impuls vektorlari. 20-asr boshlarida matematiklar tomonidan o'rganilgan boshqa ob'ektlar, xususan ketma-ketliklar bo'shliqlari (shu jumladan seriyalar) va funktsiyalar bo'shliqlari, ^[8] tabiiy ravishda chiziqli bo'shliqlar deb o'ylash mumkin. Masalan, funktsiyalar qo'shilishi yoki doimiy skalar bilan ko'paytirilishi mumkin va bu operatsiyalar fazoviy vektorlarni qo'shish va skalar ko'paytirish bilan qondirilgan algebraik qonunlarga bo'ysunadi.
20-asrning birinchi o'n yilligida parallel o'zgarishlar Xilbert bo'shliqlarining kiritilishiga olib keldi. Ulardan birinchisi kuzatish paytida paydo bo'lgan Devid Xilbert va Erxard Shmidt integral tenglamalarni o'rganish, ^[9] bu ikkita kvadrat bilan integrallanadigan haqiqiy qiymatli funktsiyalar f va g intervalda [a, b] ichki mahsulotga ega
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}
Evklid nuqta mahsulotining ko'plab tanish xususiyatlariga ega. Xususan, ortogonal funktsiyalar oilasi g'oyasi ma'noga ega. Shmidt shaklning operatori uchun spektral parchalanish analogini isbotlash uchun ushbu ichki mahsulotning odatdagi nuqta mahsuloti bilan o'xshashligidan foydalangan qayerda K uzluksiz funktsiya nosimmetrik yilda x va y. natijada paydo bo'lgan xususiy funktsiya kengayishi funktsiyani ifodalaydi K shaklning qatori sifatida {\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)}qaerda vazifalari φ_n bor orthogonal shu ma'noda, deb ⟨φ_n, φ_m⟩ = 0 uchun barcha n ≠ m. Ushbu ketma-ket, alohida shartlari ba'zan sifatida boshlang'ich mahsulot echimlar ataladi. Biroq, kvadrat bilan birlashtiriladigan funktsiyaga mos ma'noda birlashmaydigan o'ziga xos funktsiya kengayishlari mavjud: konvergentsiyani ta'minlaydigan etishmayotgan tarkibiy qism to'liqlikdir.^[10]
Ikkinchi rivojlanish Lebesgue integrali, ga alternativa Riemann integrali tomonidan kiritilgan Anri Lebesgue 1904 yilda.^[11] Lebesgue integrali funktsiyalarning ancha kengroq sinfini birlashtirishga imkon berdi. 1907 yilda, Frigyes Riesz va Ernst Sigismund Fischer mustaqil ravishda kosmik ekanligini isbotladi l ² kvadrat Lebesgue bilan birlashtiriladigan funktsiyalar to'liq metrik bo'shliqdir.^[12] geometriya va to'liqlik o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik natijasida 19-asr natijalari Jozef Furye, Fridrix Bessel va Mark-Antuan Parseval kunitrigonometrik qatorlar ushbu umumiy bo'shliqlarga osonlikcha o'tib ketdi, natijada geometrik va analitik apparatlar endi odatda Riesz–Fischer teoremasi.^[13]
Keyingi asosiy natijalar 20-asrning boshlarida isbotlandi. Masalan, Riesz vakillik teoremasi tomonidan mustaqil ravishda tashkil etilgan Moris FR Baptucalchet va Frigyes Riesz 1907 yilda.^[14] jon fon Neyman bu atamani kiritdi mavhum Hilbert maydoni uning ishida chegaralanmagan Hermit operatorlari.^[15] garchi Hermann Veyl va Norbert Viner kabi boshqa matematiklar allaqachon Hilbert bo'shliqlarini batafsil o'rgangan bo'lsalar-da, ko'pincha jismonan g'ayratli nuqtai nazardan, fon Neyman ularga birinchi to'liq va aksiomatik davolashni bergan.^[16] fon Neyman keyinchalik ularni o'zining asosiy ishida ishlatgan kvant mexanikasi asoslari,^[17] va uning davomiy ishida Evgeniy Vigner. Tez orada "Hilbert space" nomi boshqalar tomonidan qabul qilindi, masalan Hermann Veyl uning kitobida kvant mexanikasi va guruhlar nazariyasi.^[18]
Hilbert fazosi kontseptsiyasining ahamiyati uning kvant mexanikasining eng yaxshi matematik formulalaridan birini taklif qilishini anglash bilan ta'kidlandi.^[19] muxtasar qilib aytganda, kvant mexanik tizimining holatlari ma'lum bir Hilbert fazosidagi vektorlar, kuzatiladigan narsalar bu kosmosdagi Hermit operatorlari, tizimning simmetriyalari unitar operatorlar va o'lchovlar ortogonal proektsiyalardir. Kvant mexanik simmetriya va unitar operatorlar o'rtasidagi bog'liqlik unitar vakillik nazariyasining rivojlanishiga turtki bo'ldi1928 yilda boshlangan guruhlar Hermann Veyl.^[18] boshqa tomondan, 1930–yillarning boshlarida klassik mexanikani Hilbert fazosi (Koopman-fon Neyman klassik mexanikasi) nuqtai nazaridan tavsiflash mumkinligi va klassik dinamik tizimlarning ba'zi xususiyatlarini ergodik nazariya doirasida Hilbert kosmik texnikasi yordamida tahlil qilish mumkinligi aniq bo'ldi.^[20]
The kvant mexanikasida kuzatiladigan algebra tabiiy ravishda An algebra ning operatorlar A da aniqlangan Hilbert maydoni, ga binoan Verner Geyzenbergnikidir matritsa mexanikasi kvant nazariyasini shakllantirish.^[21] fon Neyman tergov qilishni boshladi operator algebralari 1930-yillarda Hilbert makonidagi operatorlarning halqalari sifatida. Fon Neyman va uning zamondoshlari tomonidan o'rganilgan algebralar turi endi fon Neyman algebralari sifatida tanilgan.^[22] 1940 yilda, Isroil Gelfand, Mark Naimark va Irving Segal deb nomlangan operator algebralar bir turdagi bir ta'rifi berdiC* - algebralar, bir tomondan Hilbert fazosiga hech qanday murojaat qilmagan va boshqa tomondan operator algebralarining ilgari o'rganilgan ko'plab foydali xususiyatlarini ekstrapolyatsiya qilgan. O'z-o'zidan bog'langan operatorlar uchun spektral teorema, xususan, mavjud Hilbert kosmik nazariyasining ko'p qismi asosida umumlashtirildi C* - algebralar.^[23] ushbu texnikalar endi mavhum Harmonik tahlil va vakillik nazariyasida asosiy hisoblanadi.
Misollar[tahrir]