Aksioma aksioma

Lebesgue joylari[tahrir]
Asosiy maqola: L ^p maydoni
Lebesgue joylar bor vazifasini joylar bog'liq chora joylar (X, M, μ), qayerda X bo'lsa, bir sozlash, M a σ-algebra tashkil subsets hamda Xva μ bir countably qo'shimcha chora bo'yicha M. Qilaylik L²(X, μ) bo'lishi makon o'sha murakkab-qimmatbaho o'lchanadigan vazifalari bo'yicha X uchun qaysi Lebesgue ajralmas maydonda bo'yicha mutlaq qiymati vazifasi hisoblanadi cheklangan, ya'ni, bir funksiyasi f ichida L²(X, μ),
{\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\mathrm {d} \mu <\infty \,,}

va agar ular faqat nol o'lchov to'plamida farq qilsa, funktsiyalar aniqlanadi.
Funktsiyalarning ichki mahsuloti f va g yilda L ² (X, axsus) keyin sifatida aniqlanadi
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}

yoki
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}

bu erda ikkinchi shakl (birinchi elementning konjugatsiyasi) odatda nazariy fizika adabiyot. Uchun f va g yilda L ², integral tufayli mavjud Koshi–Shvarts tengsizligi va belgilaydi ichki mahsulot bo'shliqda. Ushbu ichki mahsulot bilan jihozlangan L ² aslida to'liq.^[24] Lebesgue integrali to'liqlikni ta'minlash uchun juda muhimdir: domenlarda haqiqiy sonlarmasalan, etarli funktsiyalar emas Riemann integral.^[25]
Lebesgue bo'shliqlari ko'plab tabiiy sharoitlarda paydo bo'ladi. Bo'shliqlar L ² (R) va L ² ([0,1]) ning kvadrat bilan integral ga nisbatan funktsiyalar Lebesg o'lchovi ustida haqiqiy chiziq va birlik oralig'i navbati bilan, Furye konvertatsiyasi va Furye seriyasini aniqlash uchun tabiiy domenlardir. Boshqa holatlarda, o'lchov haqiqiy chiziqdagi oddiy Lebesg o'lchovidan boshqa narsa bo'lishi mumkin. Masalan, agar v har qanday ijobiy o'lchanadigan funktsiya, barcha o'lchanadigan funktsiyalarning maydoni f intervalda [0, 1] qoniqarli
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }

deyiladi tortilgan L ² kosmik L²
_v ([0, 1]) va v deyiladi vazn funktsiyasi. Ichki mahsulot bilan belgilanadi
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}

Vaznli kosmik L²
_v ([0, 1]) bilan bir xil Hilbert fazosi L ² ([0, 1], A. S.) bu erda Lebesgue o'lchanadigan a to'plamining A. S. o'lchovi bilan belgilanadi
{\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}

Weighted L² spaces like this are frequently used to study orthogonal polynomials, because different families of orthogonal polynomials are orthogonal with respect to different weighting functions.