Aksioma aksioma

Furye tahlili[tahrir]

Sinusoidal to'lqin asos funktsiyalarining superpozitsiyasi (pastki) arra tishi to'lqinini hosil qilish uchun (yuqori)

Sferik harmonikalar, an ortonormal asos uchun Hilbert maydoni radial yo'nalish bo'ylab grafikda ko'rsatilgan sferadagi kvadrat bilan integrallanadigan funktsiyalar
Furye tahlilining asosiy maqsadlaridan biri bu funktsiyani berilgan asos funktsiyalarining (ehtimol cheksiz) chiziqli birikmasiga ajratishdir: bog'langan Furye seriyasi. Funktsiya bilan bog'liq bo'lgan klassik Furye seriyasi f intervalda aniqlangan [0, 1] shaklning bir qatoridir
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}

qayerda
{\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}

Arra tishli funktsiyasi uchun Furye seriyasidagi dastlabki bir nechta atamalarni qo'shish misoli rasmda keltirilgan. Asosiy funktsiyalar to'lqin uzunliklari bo'lgan sinus to'lqinlardir (n = 1, fundamental to'lqin bundan mustasno) to'lqin uzunligidan qisqa (n butun son uchun). Barcha bazaviy funktsiyalar arra tishining tugunlarida tugunlarga ega, ammo asosiylardan tashqari barchasi qo'shimcha tugunlarga ega. Arra tishi haqidagi umumlashtirilgan atamalarning tebranishi Gibbs hodisasi deb ataladi.
Klassik Furye seriyasidagi muhim muammo Furye seriyasi qaysi ma'noda funktsiyaga yaqinlashishini so'raydi f. Hilbert kosmik usullari bu savolga bitta mumkin bo'lgan javob beradi.^[36] vazifalarini e_n(θ) = e^2πinθ shaklida bir orthogonal asosida Hilbert oraliq L²([0, 1]). Binobarin, har qanday kvadrat bilan integrallanadigan funktsiyani ketma-ketlik sifatida ifodalash mumkin
{\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }

va bundan tashqari, bu seriya Hilbert kosmik ma'noda yaqinlashadi (ya'ni l ² o'rtacha).
Muammoni mavhum nuqtai nazardan ham o'rganish mumkin: har bir Hilbert fazosi ortonormal asosga ega va Hilbert fazosining har bir elementi ushbu asos elementlarining ko'paytmalari yig'indisi sifatida o'ziga xos tarzda yozilishi mumkin. Ushbu asos elementlarida paydo bo'ladigan koeffitsientlar ba'zan mavhum ravishda fazo elementining Furye koeffitsientlari sifatida tanilgan.^[37] abstraktsiya, ayniqsa, l ^{2([0, 1]) kabi makon uchun turli xil asos funktsiyalaridan foydalanish tabiiyroq bo'lganda foydalidir}. Ko'pgina hollarda funktsiyani trigonometrik funktsiyalarga emas, balki ichiga ajratish maqsadga muvofiqdir ortogonal polinomlar yoki to'lqinlar masalan; misol uchun,^[38] va yuqori o'lchamlarda sferik harmonikalar.^[39]
Masalan, agar e _n ning har qanday ortonormal asos funktsiyalari L ² [0, 1], keyin berilgan funktsiya L ² [0, 1] cheklangan chiziqli birikma sifatida taxmin qilish mumkin^[40]
{\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}

Koeffitsientlar {a _j} farqning kattaligini qilish uchun tanlangan ||f − f _n||² iloji boricha kichikroq. Geometrik jihatdan eng yaxshi taxmin bu ortogonal proektsiya ning f ning barcha chiziqli birikmalaridan iborat subspace ustiga {e _j}, va tomonidan hisoblash mumkin^[41]
{\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}

Ushbu formula farqni minimallashtirishi | / f-f _n||² natijasidir Bessel tengsizligi va Parseval formulasi.
Jismoniy muammolarga oid turli xil dasturlarda funktsiyani differentsial operatorning jismoniy mazmunli o'ziga xos funktsiyalariga ajratish mumkin (odatda Laplas operatori): bu differentsial operator spektriga nisbatan funktsiyalarni spektral o'rganish uchun asos yaratadi.^[42] aniq jismoniy dastur baraban shaklini eshitish muammosini o'z ichiga oladi: baraban boshi ishlab chiqarishga qodir bo'lgan tebranishning asosiy usullarini hisobga olgan holda, barabanning o'zi shaklini xulosa qilish mumkinmi?^[43] ushbu savolning matematik formulasi quyidagilarni o'z ichiga oladiTekislikda Laplas tenglama dirichlet eigenvalues, skripka mag'lubiyatga tebranish fundamental usullari vakili butun sonlar bilan to'g'ridan-to'g'ri o'xshashlik tebranish fundamental usullari vakili deb.
Spektral nazariya, shuningdek, funktsiyaning Furye konvertatsiyasining ayrim jihatlari asosida yotadi. Holbuki Furye tahlili ixcham to'plamda aniqlangan funktsiyani laplasiyaning diskret spektriga ajratadi (bu skripka torlari yoki barabanlarning tebranishlariga to'g'ri keladi), funktsiyaning Furye konvertatsiyasi-bu barcha Evklid fazosida aniqlangan funktsiyaning Laplasiyaning uzluksiz spektridagi tarkibiy qismlariga parchalanishi. Furye transformatsiyasi ham geometrik, tomonidan aniq ma'noda Plancherel teoremasi, bu uning an ekanligini tasdiqlaydibirining izometriyasi Hilbert maydoni ("vaqt domeni") boshqasi bilan ("chastota domeni"). Furye transformatsiyasining bu izometriya xususiyati mavhum Harmonik tahlilda takrorlanadigan mavzudir (chunki u doimiy Furye konvertatsiyasi uchun energiyaning saqlanishini aks ettiradi), masalan Plancherel teoremasi sodir bo'lgan sferik funktsiyalar uchun kommutativ bo'lmagan Harmonik tahlil.