Aksioma aksioma

Shturm-Liovil nazariyasi[tahrir]
Asosiy maqolalar: Shturm-Liovil nazariyasi va Oddiy differentsial tenglamalarning spektral nazariyasi

Miltillovchi mag'lubiyatga shamalar. Bular bog'liq Sturm-Liovil muammosining o'ziga xos funktsiyalari. Maxsus qiymatlar 1, 1/2, 3/1, ... (musiqiy) Harmonik seriyani hosil qiling.
Nazariyasida oddiy differentsial tenglamalar, mos keladigan spektral usullar Hilbert maydoni differentsial tenglamalarning o'ziga xos qiymatlari va o'ziga xos funktsiyalari xatti-harakatlarini o'rganish uchun ishlatiladi. Masalan, Sturm-Liovil muammosi skripka toridagi yoki barabandagi to'lqinlarning harmonikasini o'rganishda paydo bo'ladi va oddiy differentsial tenglamalarda Markaziy muammo hisoblanadi.^[33] muammo a differentsial tenglama shaklning
{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}

noma'lum funktsiya uchun y intervalda [a, b], umumiy bir hil Robin chegara shartlarini qondirish
{\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}

Funktsiyalar p, Qva v oldindan berilgan va muammo funktsiyani topishdir y va doimiylarbunday qilib, tenglama echimga ega. Muammo faqat tizimning o'ziga xos qiymatlari deb ataladigan ba'zi bir qadriyatlar uchun echimlarga ega va bu spektral teorema uchun ixcham operatorlar uchun integral operator tomonidan belgilangan yashil funktsiya tizim uchun. Bundan tashqari, ushbu umumiy natijaning yana bir natijasi shundan iboratki, tizimning o'ziga xos qiymatlari cheksizlikka intiluvchi ortib boruvchi ketma-ketlikda joylashishi mumkin.^{[nb 2]}
Qisman differentsial tenglamalar[tahrir]
Hilbert bo'shliqlari o'rganishda asosiy vositani tashkil qiladi qisman differentsial tenglamalar.^[26] kabi qisman differentsial tenglamalarning ko'plab sinflari uchun chiziqli elliptik tenglamalar, funktsiyalar sinfini kattalashtirish orqali umumlashtirilgan echimni (zaif echim deb nomlanadi) ko'rib chiqish mumkin. Ko'pgina zaif formulalar sinfini o'z ichiga oladi Sobolev funktsiyalari, bu Hilbert maydoni. Tegishli zaif formulalar geometrik muammoga echimni topishning analitik muammosini kamaytiradi yoki ko'pincha muhimroq narsa, echim mavjudligini va berilgan chegara ma'lumotlari uchun noyob ekanligini ko'rsatadi. Chiziqli elliptik tenglamalar uchun katta sinf muammolari uchun noyob echilishni ta'minlaydigan bitta geometrik natija bu Lax–Milgram teoremasi. Ushbu strategiya ning rudimentini tashkil qiladi Galerkin usuli (a cheklangan element usuli) ning raqamli echimi uchun qisman differentsial tenglamalar.^[34]
Odatda, Poisson tenglamasi −R 2 da chegaralangan domenda Dirichlet chegara shartlari bilan u = g Puasson tenglamasidir. Zaif formulalar funktsiyani topishdan iborat siz shunday qilib, barcha doimiy ravishda farqlanadigan funktsiyalar uchun v ichidabunday qilib, chegarada g'oyib bo'lish:
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}

Bu jihatidan qayta tiklanishi mumkin Hilbert maydoni H¹
₀ (O'zRTXB) u funktsiyalaridan iborat bo'lib, u o'zining kuchsiz xususiy hosilalari bilan birga O'zRTXBda kvadrat bilan integrallanadi va chegarada yo'qoladi. Keyin savol topishga kamayadi siz bu bo'shliqda shunday hamma uchun v bu bo'shliqda
{\displaystyle a(u,v)=b(v)}

qayerda a uzluksiz bilinear shakl va b a uzluksiz chiziqli funktsional, navbati bilan berilgan
{\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}

Puasson tenglamasi elliptik bo'lgani uchun, Poincar-ning tengsizligidan kelib chiqadiki, bilinear shakl a bu majburiy. Keyin Lax-Milgram teoremasi ushbu tenglama echimlarining mavjudligini va o'ziga xosligini ta'minlaydi.
Hilbert bo'shliqlari ko'pchilikka imkon beradi elliptik qisman differentsial tenglamalar shunga o'xshash tarzda shakllantirilishi kerak va Lax–Milgram teoremasi keyinchalik ularni tahlil qilishda asosiy vosita hisoblanadi. Tegishli modifikatsiyalar bilan shunga o'xshash usullarni qo'llash mumkin parabolik qisman differentsial tenglamalar va aniq giperbolik qisman differentsial tenglamalar.