Аксиоматика натуральных чисел содержание

Вычитание. Вычесть число b из числа а - значит найти, если это возможно, такое число х, что b + х = а. Возможность вычитания связана с отношением порядка следующим законом: b можно вычесть из а тогда и только тогда, когда b меньше а. Из первого закона сокращения следует, что если вычитание возможно, то результат единственен; действительно, если b + х = а и b + у = а, то х = у. Результат вычитания b из а обозначается а - b. Правила действий со знаком минус, напри­мер а - (b - с) = а- b + с, вытекают из определения вычитания и коммутативного и ассоциативного законов сложения.
Деление. Разделить число а на число b значит найти, если это возможно, такое число ж, что bх= а. Если такое число существует, то оно обозначается а/b. Из второго закона сокращения следует, что если деление возможно, то результат единственен.

Все вышеупомянутые законы довольно очевидны, если сло­жение и умножение понимать как действия над совокупностями некоторых предметов. Например, коммутативный закон умно­жения становится очевидным, если рассмотреть прямоуголь­ную таблицу (рис. 1), в которой предметы расположены в b столбцов и а строк; число предметов в ней равно ab или bа. Дистрибутивный закон очевиден, если рассматривать совокупность предметов на рис.2; в этой совокупности имеется a(b + с) предметов, их число складывается из ab и ас предметов. Несколько менее очевидным, возможно, является ассоциатив­ный закон умножения, утверждающий, что а(bс) = (аb)с. Чтобы сделать ясным и этот закон, рассмотрим прямоугольник, изоб­раженный на рис. 1, заменив в нем каждый предмет числом с. Тогда сумма всех чисел в каждой строке равна bс; так как имеется а строк, то полная сумма равна а(bс). С другой сто­роны, имеется ab чисел, каждое из которых равно с, поэтому полная сумма есть (ab)c. Значит, a(bс) = (a,b)с, что и требуется доказать.
Законы арифметики имеете с принципом индукции (кото­рый рассмотрен далее) образуют основу для логического раз­вития теории чисел. Они дают возможность доказывать общие теоремы о натуральных числах, не возвращаясь к исходным значениям чисел и операций над ними. Правда, некоторые довольно глубокие результаты теории чисел проще всего полу­чить, подсчитав определенное число предметов двумя различ­ными способами, но таких результатов не очень много.