Аксиоматика натуральных чисел содержание

2. СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Законы арифметики.

Высшая арифметика исследует общие предложения о натуральных числах 1, 2, 3, ... обычной арифметики. Примерами таких предложений могут служить фундаментальная теорема о том, что каждое натураль­ное число разлагается на простые множители и это разложе­ние единственно, и теорема Лагранжа о том, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более четы­рех точных квадратов.
Высшая арифметика — дедуктивная наука, основанная на законах арифметики. Законы арифметики выражаются следующим образом.
Сложение. Любые два натуральных числа а и b имеют сумму, обозначаемую а+b, которая сама является натуральным числом. Операция сложения удовлетворяет двум законам:
а + b = b + а (коммутативный закон сложения),
а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативный закон сложения),
скобки в последней формуле указывают порядок выполнения операций.
Умножение. Любые два натуральных числа а и b имеют про­изведение, обозначаемое а • b или ab, которое само является на­туральным числом. Операция умножения удовлетворяет двум законам:
ab = bа (коммутативный закон умножения),
а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения).
Имеется также закон, связывающий сложение и умножение:
а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон).
Порядок. Если а и b — два натуральных числа, то или а равно b, или а меньше b, или b меньше а, и из этих трех возможностей осуществляется ровно одна. Утверждение «а меньше b» симво­лически выражается в виде а < b, в этом случае мы говорим также, что b больше а, символически: b > а. Основной закон, управляющий этим отношением порядка, таков:
если а < b и b < с, то а < с.
Имеются также два закона, связывающих отношение поряд­ка с операциями сложения и умножения:
если а < b, то а + с < b + с и ас < be.
каково бы ни было натуральное число с.
Сокращение. Два закона сокращения логически вытекают из законов порядка; однако они достаточно важны, и мы их точно сформулируем. Первый закон гласит:
если а + х = а + у, то х = у.
Это следует из того, что если х < у, то а + х < а + у, что противоречит предположению; невозможно также неравенство у < х; поэтому х = у. Тем же способом получаем и второй закон сокращения, утверждающий, что
если ах = ау, то х = у.