Аксиоматика натуральных чисел содержание

Простые числа

Очевидно, что каждое натуральное чис­ло а делится на 1 (отношение равно а) и на а (отношение равно 1). Множитель а, отличный от 1 или а, называется собственным множителем. Известно, что существуют числа, не имеющие соб­ственных множителей; они называются простыми числами или простыми. Первые несколько простых таковы:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
Считать ли простым числом 1 вопрос соглашения, но удобнее 1 не считать простым.
Число, не являющееся простым и не равное 1, называется со­ставным, такое число можно представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых больше 1. Хорошо известно, что любое составное число можно представить в виде произведения простых; при этом, конечно, некоторые простые могут встре­титься по нескольку раз. Возьмем, например, число 666; ясно, что оно делится на 2, и мы получаем 666 = 2 • 333. Далее, 333 имеет очевидный множитель 3, откуда 333 = 3• 111. Множитель 111 снова делится на 3, так что 111 = 3 • 37. Следовательно,
666 = 2 • 3 • 3 • 37,
и мы получили представление составного числа 666 в виде про­изведения простых. Имеется общая теорема о том, что каждое число представимо в виде произведения простых, или, что то же самое, любое число, большее 1, является простым либо разла­гается в произведение простых.
Для доказательства этого общего утверждения воспользу­емся методом индукции. Докажем утверждение для числа n, считая, что оно уже доказано для любого числа, меньшего n. Если n простое, доказывать нечего. Если n составное, то его можно представить в виде произведения аb, где a и b больше 1 и меньше n. Мы уже знаем, что числа а и b или являются про­стыми, или разлагаются в произведение простых; подставив их разложения в равенство n = аb, получаем разложение n на про­стые множители. Это доказательство столь просто, что может показаться читателю совершенно излишним. Другая общая те­орема о разложении на простые будет доказываться уже не так просто.
Ряд простых 2, 3, 5, 7, ... издавна интересовал людей. В дальнейшем мы сформулируем некоторые из полученных в этом направлении результатов. В настоящий момент мы ограничим­ся доказательством того, что ряд простых бесконечен. Это до­казательство Евклида (книга IX, предложение 20) может слу­жить образцом изящества и простоты. Пусть 2, 3, 5, ..., Р — ряд простых до некоторого простого Р. Рассмотрим произведе­ние всех этих простых, добавим к нему 1 и положим
N =2•3•5,...P+1.
Это число не может делиться на 2, так как если бы оно делилось на 2, то и 2•3•5 ... Р, а потому и разность N- 2•3•5 ... Р делились бы на 2. Но разность этих чисел равна 1 и на 2 не делится. Аналогично убеждаемся в том, что N не может делиться на 3, на 5 и вообще ни на какое другое простое вплоть до Р. С другой стороны, N должно делиться на какое-нибудь простое (на само себя, если N простое, или на любой простой делитель N, если N составное). Следовательно, существует простое число, отличное от любого из простых 2, 3, 5, ..., Р и потому большее Р. Таким образом, ряд простых оборваться не может.