Akslantirishlar. Inyektiv, suryektiv, biyektiv funksiyalar. Funksiya turlarini aniklashga doir misollar yechish Reja

4.4-Teorema. akslantirish va to’plamlar uchun tenglik o’rinli.
Isboti: bo’lsin, ya’ni , demak, , shuning uchun bundan .
Demak, .
Endi teskari munosabatni isbotlash uchun ni olamiz, bundan , demak, и , ya’ni , shuningdek, o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa . Olingan qism to’plamlar birlashtirilsa, talab qilingan tenglikka kelamiz:
.
Teorema isbotlandi.
4.4-Ta’rif. Agar munosabat qismiy funktsiya bo‘lsa, ya’ni dan olingan bajarilsa, funktsiyaga o’zaro bir qiymatli funktsiya yoki in’yektiv funktsiya deyiladi va kabi belgilanadi.

Demak, in’yektiv funktsiyada takrorlanuvchi qiymatlar bo’lmaydi. Bundan kelib chiqadi.

4.3-Misol. funktsiya in’yektiv funktsiya bo’lishini ko’rsating.
Yechilishi: Faraz qilaylik, bo’lsin, ya’ni , bundan , kelib chiqadi. Demak, - in’yektiv funktsiya bo’ladi.
4.5-Ta’rif. Agar bo‘lsa, funktsiya ni ga ustiga akslantirish yoki syur’yektiv funktsiya deyiladi va kabi belgilanadi.


4.4-Misol. 3-misoldagi funktsiyaning syur’yektivlikka tekshiramiz.
Yechilishi: Aytaylik, bo’lsin. Ta’rifga ko’ra, - syur’yektiv funktsiya bo’lishi uchun o’rinli bo’ladigan shunday haqiqiy son ni topish mumkin. Buning uchun deb olsak, son topiladi. Demak, - syur’yektiv funktsiya.


4.6-Ta’rif. Ham in’yektiv, ham syur’yektiv bo`lgan funktsiya A va B to‘plamlarning biyektiv funktsiyasi deyiladi va kabi belgilanadi.
4.5-Misol. funktsiya ham in’yektiv, ham syur’yektiv, demak biyektiv ham bo’ladi.
Umuman olganda, akslantirishlarning barchasi biyektsiya bo’ladi.
4.6-Misol. tenglik uchun:
a) akslantirish in’yektsiya ham, syur’yektsiya ham bo’lmaydi.
b) akslantirishni olsak, bu syur’yektiv akslantirish bo’ladi, lekin in’yektiv bo'lmaydi.
v) deb oladigan bo’lsak, bu akslantirish biyektsiya bo’ladi.
4.7-Misol. tenglik uchun:
a) akslantirish in’yektiv ham, syur’yektiv ham emas.
b) in’yektiv bo’ladi, syur’yektiv emas.
v) syur’yektiv bo’ladi, in’yektiv emas.
g) biyektiv akslantirish bo’ladi.
Keltirilgan misollardan ko’rinadiki, akslantirishlarda nafaqat amalning tuzilishi, balki va to’plamlarning ham tuzilishi muhim rol o’ynaydi..