Akslantirishlar va ularning xossalari

Teorema. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirishni tashkil etsin. U holda quyidagi xossalarga ega bo’lamiz:
1) .
2) uchun .
3) lar uchun .
4) va lar uchun
5) agar B Aga qism fazo bo’lsa, uning obrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, V ga qism fazo bo’ladi.
6) Agar U Vga qism fazo bo’lsa, uning proobrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, A ga qism fazo bo’ladi.
7) Agar M A da qism to’plam tashkil etsa, u holda
Isbot.

1. 
   Har bir uchun o’rinli. Shunga ko’ra
   

V da qo’shma qarama–qarshilikka ega. Yuqoridagi qonuniyatga asosan:

ga ega bo’lamiz.

2. 
   , demak
   

bundan ga o’zaro teskaridir.

3. 
   
   
4. 
   n uchun induksiyadan foydalanamiz. n=2 uchun
   

.
Faraz qilaylik,

isbotlangan.
Bundan,

ni hosil qilishimiz mumkin.

5. 
   va bo’lsin, 4-teoremaga asosan , bundan
   

va
Shunday qilib, 4-teoremaga ko’ra V ga qism fazo bo’ladi.

6. 
   , va bo’lsin. va ga ko’ra U Vga qism fazo bo’ladi.
   

teoremaga asosan A ga qism fazo bo’ladi.
7) bo’lsin. 5-teoremaga ko’ra haqiqiy elementlar uchun ko’rinishda bo’ladi. .
Bundan ko’rinadiki,
.
Mantiqan bo’lsin. Argumentlariga murojat qiladigan bo’lsak,
ni isbotlashga erishamiz.
Qism fazo f–chiziqli akslantirishda yadro deb ataladi.