Алгеба ва ва анализ асослари курсида “бошланғич функция ва интеграл” мавзусини ўтиш методикаси

АЛГЕБА ВА ВА АНАЛИЗ АСОСЛАРИ КУРСИДА “БОШЛАНҒИЧ ФУНКЦИЯ ВА ИНТЕГРАЛ” МАВЗУСИНИ ЎТИШ МЕТОДИКАСИ
Мавзуни ўрганиш режаси

1. 
   “Бошланғич функция” ва “интеграл” тушунчаларини киритиш.
   
2. 
   Мавзу материалларини ўрганишнинг дарсларга бўлинган режаси.
   

Мустақил иш учун топшириқлар
(Мақсад. Режанинг биринчи қисмини амалга оширишга тайёргарлик)
1. Алгебра ва анализ асослари курсини ўқитишнинг мақсад ва мазмунини аниқланг [126].
2. XI синфдаги алгебра ва анализ асослари курсининг тематик режаси билан танишинг. Бунда “Бошланғич функция ва интеграл” мавзусига алохида эътибор қаратинг (қаранг: Математика в школе.- 1986.- № 3.- С. 44).
I. “Бошланғич функция” ва “интеграл” тушунчаларини киритиш
Мақсад. “Бошланғич функция” ва “интеграл” тушунчаларининг XI синфдаги алгебра ва анализ асослари курсидаги ўрни, мақсади. Бу тушунчаларни ўрганишнинг ўзига хос хусусиятлари.
Жихозлар, воситалар. 1.Бошланғич функция ва интеграл тушунчаларини киритиш учун кодопозитивлар .
2. “Бошланғич функция” ва “интеграл” мавзусидаги тушунчалар орасидаги боғланишларни ифодаловчи схемалар.
Ишнинг биринчи қисмини амалга ошириш режаси
1. Мақсадни, “интеграл” тушунчаси билан боғлиқ ўрганиладиган саволларни аниқланг.
2. Ўрганиладиган мавзу ўқув материаллари мазмунини баён этинг.
3. Мактаб ўқувчилари учун мўлжалланган дарсликлардаги мавзуга оид амалий топшириқларни таҳлил қилинг.
4. Хулосалар.
Асосий мазмун
1. “Бошланғич функция ва интеграл” мавзусини ўтишнинг таълим мақсадларини қуйидагича ифодалаш мумкин:

• 
  функция дифференциалини топиш амалига нисбатан тескари амал бўлган амал билан ўқувчиларни таништириш;
  
• 
  амалий мазмунга эга геометрик масалаларни ечишда интеграл ҳисоб усулларини қўлланилиши билан ўқувчиларни таништириш.
  
• 
  ушбу мавзуни ўрганишнинг тарбиявий ва ривожлантирувчи мақсадлари ўқувчиларнинг диалектик-материалистик дунёқарашни шакллантириш билан боғлиқ ( “Математика ва унинг табиати ҳақидаги, математик абстракциянинг моҳияти ва келиб чиқиши ҳақида ўқувчилар тасаввурларини ривожлантиради, .... математиканинг фанлар тизимидаги ўрни, математик моделлаштиришнинг илмий билиш ва амалиётдаги ўрни ва роли ҳақидаги тушунчаларини кенгайтиради ... ” [119]):
  

• 
  қатор масалалар ечимида янги ечиш усулини киритиш (хусусан фигураларнинг юзалари ва ҳажмларини топиш), математик моделларнинг универсаллигини кўрсатиш;
  
• 
  математика ёрдамида тадбиқий масалаларни ечиш босқичларини намойиш этиш.
  

“Бошланғич функция ва интеграл” мавзусидан аввал “Ҳосила ва унинг тадбиқлари” мавзуси келади.Бундай кетма –кетлик биринчидан дифференциаллаш ва интеграллаш амаллари орасидаги боғланишни тушунишларига, шунингдек функциянинг дифференциал ва интеграл ҳисоби методининг асосий ғоялари билан таништири (функция маълум бўлса , аргументнинг ўзгаришига функциянинг ўзгаришини аниқлаш ва аксинчани билиш мумкинлиги: функцияни локал ўзгаришини билган ҳолда (маълум бошланғич шартларда) функцияни ўзини топиш ёки функциялар синфини топиш мумкинлиги ;
Иккинчидан ҳосила ва интеграл аппарати математик анализнинг энг асосий тушунчалари эканлиги ўқувчилар томонидан англанилиши: бир томондан у оламдаги кўплаб жараёнларни ифодаловчи тил сифатида намоён бўлса, иккинчи томондан у бу ҳодиса ва жараёнларни ўрганувчи инструмент -қуролдир.
2. Мавзунинг мазмунини катта икки гурухга бўлиш мумкин: ( ) “бошланғич функция” ва “интеграл”.
Бошланғич функция тушунчасини ўрганиш учун бу тушунчанинг таърифи, унинг хоссалари (жумладан интегралнинг геометрик маъноси ) ўрганилади.
Бошланғич функцияни топиш кўникмаларини ҳосил қилишни мактаб математика курси ўз олдига мақсад қилиб қўймаганлигидан, танланган мисол ва масалаларнинг мураккаб бўлмаганлари танлаб олинади. Ўрта мактаб математика фани бўйича дастурларда бутун кўрсаткичли ( ) даражали функция учун, синус ва косинус функциялари учун бошланғич функцияларни топа билишни кўзда тутади.
“Интеграл” тушунчаси билан эгри чизиқли трапеция юзини ҳисоблаш тушунчаси , интегрални тақрибий ҳисоблаш тушунчаси ва Ньютон-Лейбниц формуласи узвий боғланган.
Интегрални турли масалаларни ечишга тадбиқларига мисол тариқасида асосан эгри чизиқли трапеция юзини ҳисоблаш қаралади. Жисмларнинг ҳажмларини топиш ҳам ушбу мавзуда қаралади,аммо бу каби масалалар геометрия курсида алоҳида ўрганилади ( А.В. Погорелов [113] га қаранг ). Айланиш жисмларининг ҳажмлари , жумладан шар ва унинг бўлаклари ҳажмларини топиш учун умумий формулаларида интеграл тушунчасидан фойдаланиш берилган.
Шундай қилиб бу мавзуни ўзлаштиришда асосий эътибор биринчидан бошланғич функцияларни топишга ва интегралларни ҳисоблашга, иккинчидан эса эгри чизиқли трапеция юзини ҳисоблашга қаратилади.
Изоҳ. Яна бир марта шуни таъкидлаб ўтиш жоизки мактаб математика курси ўқувчиларда интеграллаш кўникмаларини ҳосил қилишни кўзда тутмайди, фақат ўқувчиларда берилган функция учун муракаб бўлмаган интеграллари билан танишишни кўзда тутади.
3. “Бошланғич функция ва интеграл ” мавзуси материалларини таҳлил қилиб, қатор амалий вазифаларни ажратиб кўрсатиш керак.
1) Мавзуни ўтишнинг вазифалари нималардан иборат?
Қўйилган саволга жавобни ўрта мактаб курсида “Бошланғич функция ва интеграл” мавзусини ўқитиш мақсадларидан келиб чиқади. Мавзуни ўтишнинг вазифалари сирасига қуйидагилар киради:

• 
  бошланғич функция ва интеграл тушунчаларини киритиш;
  
• 
  ўқувчиларни бошланғич функциянинг асосий хоссалари ва бошланғич функцияни топиш қоидалари билан таништириш;
  
• 
  интеграллаш амали маъносини очиб бериш, яъни бу амал берилган функция дифференциалини топиш амалига тескари амал эканлигини кўрсатиш;
  
• 
  масалалар типларини ажратиш (эгри чизиқли трапеция юзини топиш, жисм ҳажмини топиш , физик масалалар ); интеграл ҳисоб усули қандай тадбиқ этилишини кўрсатиш. Бунда масала ёки мисолни ечиш босқичларига ҳам эътибор қаратилади. Бу жараёнларнинг барчасини математик моделлаштириш деб қараш мумкин.
  

2) “Бошланғич функция ва интеграл” мавзусини ўтишда асосий назарий материал нималардан иборат бўлиши керак?
Бу материалга албатта қуйидагиларни киритиш лозим :

• 
  бошланғич функция тушунчаси, бошланғич функциянинг асосий хоссалари;
  
• 
  функция интеграли тушунчаси;
  
• 
  бошланғич функция ва аниқ интеграл тушунчалари орасидаги боғланиш - Ньютон-Лейбниц формуласи;
  
• 
  Ньютона-Лейбниц формуласи берилган функциянинг аниқ интегралини ҳисобловчи аппарат сифатида.
  

Мавзуни ўтишнинг асосий хусусиятлари нимада?
Бу саволга жавоб мавзунинг туб моҳиятини очиб бериш, киритиладиган тушунчалар ва улар орасидаги боғланишларни, киритиладиган тушунчалар ва аввал ўтилган тушунчалар орасидаги узвийликни очиб бериш ва ҳ.зо. Бунда табиийки мавзуни қай тарзда баён этиш , баён этишнинг турли ваиантларини таҳлил қилиш зарур [5], [9], [13].
Қўйилган саволларга жавоблар схемасини мавзу материалларига асосланиб тузилади.
3) Бошланғич функция тушунчаси, бошланғич функциянинг асосий хоссалари.
Иккала ўқув қўлланмалари материални баён қилишнинг қуйидаги схемасидан фойдаланганлар:
а) Янги тушунча ва унинг хоссаларини киритишга ўқувчиларни йўллаш. Шу мақсадда асосий эътибор иккита ўзаро тескари масала : (вақтнинг аниқ моментидаги) эркин тушаётган жисмнинг тезлиги ва тезланишини топиш, бунда йўл ўзгаришининг қонуни маълум бўлса . Иккинчи масала умумий кўринишда ифодаланади, яъни қандайдир функциянинг ҳосиласи маълум, берилган ҳосиласига кўра номаълум функцияни топиш керак.
Бу масалани ҳал қилиш учун янги амал –интеграллаш амалини киритилади.
б) Интеграллаш амали билан (берилган ҳосиласига кўра номаълум функцияни топиш қуйидагилар билан боғлиқ:

• 
  бошланғич функция тушунчаси;
  
• 
  бошланғич функция хоссалари;
  
• 
  бошланғич функцияни топиш қоидалари.
  

Кўрсатилган масалалар дедуктив киритилади, асосий тушунчани киритишнинг иллюстратив шаклидан фойдаланилади, унинг хоссалари ёрдамида конкрет мисоллар қаралади .
Ўқувчилар бу мавзуни яхши ўзлаштиришлари учун қуйидаги кўринишдаги топшириқлар берилади : «F функция f функция учун берилган оралиқда бошланғич функция бўлишини исботланг», «Берилган оралиқда берилган функция учун бошланғич функцияни топинг», « Берилган функция учун шундай бошланғич функция топингки, унинг графиги берилган нуқтадан ўтсин» ва ҳ.з.
Ўқув қўлланмаларидаги ўқув материалларини берилиши таҳлили қандай хулосаларга олиб келади?
Биринчидан ўқитувчи мавзуни ўтишга керакли тайёргарлик кўриши керак: у ўзи учун мавзуни қандай ўтилиши , қайси материаллар такроланиши, дарсни ўтишда қандай усулларни қўллашини яхши билиши керак.
Маълумки маълум функциялар учун ҳосилалар жадвалини такрорланиши, ҳосиланинг геометрик ва физик маъноларига, дифференциаллаш қоидаларига қайта мурожаат қилиниши керак . Бунда назарий ва амалий аҳамиятга эга бўлган масалаларни алоҳида танлаш керак.
Иккинчидан, бошланғич функция ва унинг асосий хоссаларини ўтишдан аввал конкрет масалаларни ўрганиш керак.
Мисоллар келтирамиз:
1 -масала. Жисм тўғри чизиқ бўйлаб _{тезлик билан ҳаракатланмоқда}. Вақтга боғлиқ равишда йўл формуласини топинг.
2 -масала. Уринмасининг бурчак коэффиценти _{бўлган эгри чизиқ тенгламасини тузинг.}
Бу масалаларни ечишда ўқувчиларнинг эътиборини функция ҳосиласи маълум , функциянинг ўзи номаълум бўлишига қаратиш керак. Биринчи ҳолда ҳосиласи 2t га тенг бўлган функцияни топиш керак. Иккинчи холда эса ҳосиласи 3х² га тенг бўлган функцияни топиш керак.
Бу икки масала ечимини анализ қилиш натижасида қуйидаги хулосаларга келамиз

• 
  масала ечими ҳосиласи маълум бўлган ва ҳосиласига кўра функцияни ўзини топишдир.
  
• 
  Масала шартини қаноатлантирувчи функциялар чексиз кўп.
  

Шундай қилиб , бир томондан , бошланғич функция тушунчасини киритиш учун, интеграллаш амалининг дифференциаллаш амалига тескари амал база яратилган бўлса, иккинчи томондан бошланғич функциянинг асосий хоссаларини ифодаловчи теоремани шакллантирилади ва исботланади.
Учинчидан ўқувчилар эътиборини F(х)+C ёзувга қаратиш ,яъни С доимийнинг ихтиёрий қиймат қабул қила олиши мумкинлиги, масала шартига мос келадиган конкрет С нинг қийматини мавжудлиги эсда тутиш керак.
Биринчи масала учун функцияни, иккинчи масала учун функцияни олиш мумкин. ( Бу ерда С — қандайдир доимий). Хусусий ҳолларда масала қандай бўлишини ўқувчиларга кўрсатиш учун уларга 1-масалада жисм 2 секундда 15 метр юрган бўлса, (яъни вақтга боғлиқ равишда йўл формуласини,яъни, А(1;2) нуқтадан ўтувчи эгри чизиқ тенгламасини топинг). Иккала масала ечими бошланғич шартларни қаноатлантирувчи бошланғич функцияни топишга келтирилади. Ҳар бир бошланғич функция бир қийматли аниқланади :

Бу масалаларни ечиш жараёнида ўқувчилар берилган функция учун конкрет бошланғич функцияни топиш мумкинлигига ишонч ҳосил қиладилар (бу каби масалалар амалиётда кўп учрайди).

Ушбу типдаги масалалар бошланғич функция асосий хоссасининг геометрик маъносини очиш имконини беради.
Тўртинчидан , бошланғич функцияни излаш масаласи икки ўзаро тескари амаллар : дифференциялаш ва интеграллаш ўртасидаги боғлиқликни ойдинлаштиради.
Масалан учинчи қоидани киритиш (агар F (х) —f (х функция учун бошланғич функция бўлса ), ва b —доимийлар бўлса, у ҳолда функция функция учун бошланғич функция бўлади. Бундан аввал ўқувчилар билан қуйидаги топшириқларни бажариш мумкин:

• 
  _{функциялар ҳосилаларини топинг}
  
• 
  функциялар учун бошланғич функцияларни топинг
  

Бу масалалар ечимларининг таҳлили интеграллаш қоидаларини топишга ва уларнинг исботини ўқувчиларга мустақил иш сифатида топшириқ қилиб бериш мумкин.
Интеграл тушунчасининг киритилиши. “Бошланғич функция” ва “интеграл” тушунчалари орасидаги боғланишни ўрнатиш.
[9] ўқув қўлланмаси ва [5] дарслиги ўртасида бу мавзуни ёритилишидаги умумийлик ва фарқларни қарайлик.
[9] ўқув қўлланмасида қуйидагилар қаралади :
1) Эгри чизиқли трапециянинг юзи кесмада берилган бошланғич функция орртирмаси сифатида:

• 
  Эгри чизиқли трапеция тушунчаси;
  
• 
  Эгри чизиқли трапеция юзини топиш йўлларидан бирини кўрсатувчи теорема
  

Бу ерда F — [a; b] кесмада узлуксиз, номанфий бўлган f функция учун бошланғич функция);

• 
  тасдиқ: берилган интервалда аниқланган ихтиёрий функция бу интервалда бошланғич функцияга эга бўлади.
  

2) Интеграл:

• 
  Эгри чизиқли трапеция юзини топишга иккинчи ёндашув ( интеграл йиғиндиларнинг лимити сифатида қараш;
  
• 
  Интеграл тушунчасини интеграл йиғиндининг ( ) даги лимити сифатидаги сон сифатида қараш);
  
• 
  [a; b] кесмада узлуксиз, номанфий бўлган функциядан олинган интеграл билан эгри чизиқли трапеция юзи тушунчалари орасидаги боғлиқлик.
  

3) Ньютон-Лейбниц формуласи:

• 
  Эгри чизиқли трапеция юзи ҳақидаги масалалар ечимларини солиштириш натижаси:
  

Бу ерда F — [a; b] кесмада узлуксиз, номанфий бўлган функция учун бошланғич функция);

• 
  Ихтиёрий узлуксиз функция учун олинган формуланинг тўғрилиги ҳақида хулоса чиқариш (исботсиз).
  

Мавзунинг [5] дарсликда берилиши билан [9] дарсликда берилишида кескин фарқлар йўқ ,улардаги фарқлар алохида саволлар кетма-кетлигида кўринади. Тушунтириш схемаси қуйидагича бўлиши мумкин: эгри чизиқли трапеция , эгри чизиқли трапеция юзи, яъни эгри чизиқли трапеция юзини интеграл йиғиндилар кетма-кетмалиги сифатида қаралади, Ньютон-Лейбниц формуласини келтириб чиқариш учун кўргазмали қуроллардан фойдаланиш.
Назарий материалларга қуйидаги икки турдаги масалалар берилади. Улар эгри чизиқли трапециянинг юзини топиш ва интегрални ҳисоблаш.
Изох. Маълумки нафақат эгри чизиқли трапециянинг юзини топиш масаласи, шунингдек кучнинг бажарган иши масаласи, берилган вақт оралиғида ўтказгичнинг кўндаланг кесимидан ўтадиган электр миқдори ҳақидаги масала ва бошқа масалалар интеграл тушунчасига олиб келади.Бу масалаларда “интеграл” тушунчасига олиб келиш методикаси [70] да келтирилган.
“Интеграл” тушунчаси ва интегралларни ҳисоблаш усуллари бўйича ўқув қўлланмаларида берилган материаллардан қатор методик хулосаларни беради. Бу қандай хулосалар?
Ньютон-Лейбниц формуласи интегралнинг энг кўп ишлатиладиган хоссаларини исботлаш имконини беради. Бу эса ўқувчиларга интеграл ва унинг геометрик маъносини янада яхши тушуниш имконини беради. Қуйидаги мисоллар яъни тенгликларни исботлашга тавсия этиш мумкин:

агар f функция [a; b] кесмада бошланғич функцияга эга бўлса, у ҳолда (с — қандайдир доимий);

• 
  агар ва функциялар [a;b] кесмада бошланғич функцияларга эга бўлса, у ҳолда
  
• 
  агар _{бўлса, у ҳолда}
  
• 
  (№ 455, [9]);
  

Юқори чегараси ўзгарувчи бўлган интегрални ҳисоблаш формуласини исботланг:

• 
  
  

Бу ерда f(х) — функция, на интервале, содержащем точки а ва х нуқталарни ўз ичига олувчи интервалда узлуксиз.
Таклиф этилган машқлар ўқувчилар фойдали , чунки уларни ечиш жараёнида дифференциаллаш ва интеграллаш амаллари ўртасидаги “ҳосила” , “бошланғич функция ” ва “интеграл” тушунчалари ўртасидаги алоқаларни тушуниб оладилар.
Ўқув материали таркибига қандай мисоллар ва уларни ечишнинг қандай усулларини қўшиш кераклиги ҳақида обдон ўйлаб олиш лозим.
Иккинчидан интеграл тушунчаси кесмада узлуксиз бўлган функциялар учун интеграл тушунчаси киритилади. Чунки бундай функция бу кесмада бошланғич функцияга эга Ўқувчилар бу мавзуни онгли ўзлаштиришлари учун бу фактга уларнинг эътиборларини қаратиш керак.Шу мақсадда қуйидагича мисоллар берилиши мумкин.
1-масала.



_интегрални ҳисоблаш мумкинми (интеграл остидаги функция <sub>кесмадаги


нуқтада узилишга эга</sub>
2-масала. Интегрални ҳисоблашдаги хатоликни топинг

(Хатога йўл қўйилган, чунки мусбат функциядан олинган интеграл манфий сон билан ифодаланмайди ).

3масала. а, в ларнинг қандай қийматларида қуйидаги интеграл мавжуд

(-5; 5 нуқталарда интеграл остидаги функция узулишга эга; шунинг учун қуйидаги шартлар қўйилади:

1. 
   _ва ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   
   

4-масала. Ҳисобланг:
а) б) в)
(Охирги икки ҳолда интегралларни ҳисоблаб бўлмайди, чунки улар интеграллаш чегараларида аниқланмаган.)
Учинчидан “ аниқ интеграл” ва “бошланғич функция” тушунчалари орасидаги боғланишни англаш эгри чизиқли интеграл тушунчасига мурожаат қилиш орқали амалга ошади. Демак мавзуни ўрганишда етарлича эътиборни интегралнинг геометрик маъносига қаратиш зарур. Аммо бу билан чегараланиб қолмасдан интегралларни ҳисоблашни ҳам ўргатиш зарур.
Интегралнинг геометрик маъносидан фойдаланиб интегралларни осон ҳисоблаш имкониятига эга бўламиз. Масалан жуфт ва тоқ функциялардан 0 нуқтага нисбатан симметрик бўлган оралиқ бўйича интегралларни ҳисоблаш. Буни қуйидаги формулаларга асосланган ҳолда амалга оширамиз.
1-масала. f функция [-а; а] да узлуксиз жуфт функция бўлса, у ҳолда

бўлишини кўрсатинг

2-масала. f функция [-а; а] да узлуксиз тоқ функция бўлса, у ҳолда

бўлишини кўрсатинг

3-масала. Ҳисобланг:

Масалан:

Изох. “Интеграл” тушунчасини қуйидагича киритиш мумкин:
Эгри чизиқли трапеция — эгри чизиқли трапеция юзи кесмада узлуксиз функция учун бошланғич функциянинг ортирмаси сифатида:

.
“Интеграл” тушунчасининг ушбу тарзда киритилишининг ютуқлари ва камчиликлари нималарда кўринади? Мактаб математика курсида ушбу йўлни танлаш тўғрими?
5. “Бошланғич функция ва интеграл” мавзусига оид тушунчаларни боғловчи схема қандай кўринишга эга?
Бу схемани қуйидагича тасвирлаш мумкин:

“Бошланғич функция ва интеграл” мавзусига

Функция графиги





Эгри чизиқли трапеция








Эгри чизиқли трапеция юзи
(интегралнинг геометрик маъноси)







Функция интеграли

Узлуксиз функция





Бошланғич функция орртирмаси
(интегрални ҳисоблаш формуласи)





Функция орртирмаси

Бошланғич функция

Бошланғич функция хоссалари









Функция ҳосиласи

Дифференциаллаш қоидалари

Юқоридаги схеманинг анализи методик хулосаларнинг туғрилигини кўрсатади[5], [9], [13]

6. [5] ваи [9] дарсликларда “Бошланғич функция ва интеграл” мавзусига оид мисол ва масалалар , уларнинг ечиш усуллари, ўқувчиларнинг бу мавзу бўйича мустақил ишларини ташкилланилиши мавзу олдига қўйилган мақсадларга мосми ?
Бу саволга жавобни учга гурухга бўлиш мумкин :

• 
  Тушунчани шакллантиришга, тушунча хоссаларини ўрганишга йўналтирилган масалалар (бу масалалар дидактик функцияларни бажаради ;
  
• 
  (Келгусига керакли, фойдали бўладиган) янги фактни олишга ёки маълум типдаги масалаларнинг ечиш усуллари билан танишишга олиб келадиган масалалар (билиш га ундовчи масалалар);
  
• 
  Фикрлашни ривожлантирадиган , ечиш йўлларини ўзи хос бўлган масалалар. Бу масалаларнинг ечимлари ижодкорликни, жумладан математик ижодкорликни талаб қиладиган масалалар (Бу масалалар ривожлатирувчи функцияларни бажаради) .
  

Маълумки мавзуни ўқитишда таълимий мақсадларига мўлжалланган масалалардан ташқари ривожлантирувчи дидактик функцияларни бажаришга мўлжалланган масалалар ҳам бўлиши керак
Мавзуни ўқитишда тарбиявий ва ривожлантирувчи мақсадларга эришиш учун юқорида номланган уччала гурухдаги масалаларни ечиш мақсадга мувофиқ. [5], [9] да келтирилган ўқув материалларидан фойдаланиш тавсия этилади.
7. ““Бошланғич функция ва интеграл” мавзусини ўзлаштириш учун бу мавзуни тушунишиши учун қандай билим, кўникма ва малакалар бўлиши лозим?
Бу саволга жавоб давлат таълим стандартларидан олиш мумкин.
8. Хулосалар:

• 
  мактаб математика курсидаги интеграл тушунчаси интеграл йиғиндиларнинг лимити ёрдамида киритилади;
  
• 
  интегралларни ҳисоблашда бошланғич функция ортирмасидан (Ньютон-Лейбниц формуласидан) фойдаланилади;
  
• 
  эгри чизиқли трапециянинг юзи ёрдамида функция интеграли ва бошланғич функция ортирмаси тушунчалари бир –бири билан боғланади;
  
• 
  мавзуни ўтишда ва ўзлаштиришда катта эътибор интегралнинг геометрик маъноси ва унинг конкрет масалаларни ечишга тадбиғига қаратилади.