Algеbraik opеratsiya tushunchasi va uning xossalari: kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik va qisqaruvchanlik. Nеytral, yutuvchi va simmеtrik elеmеntlar

More examples . . .

• 
  Let R be the real numbers. Then Z and Q are both closed under both addition and multiplication.
  
• 
  Note that the negative real numbers are not closed under multiplication.
  

• 
  Let Z[_{ }] = {a + b_{ }| a, b ∈ Z}. Then Z[_{ }] is easily checked to be closed under both addition + and multiplicaton · of com-
  

plex numbers.(Addition is easy.For multiplication, note that if a, b, c, d ∈ Z, then (a + b_{ }) · (c + d_{ } ) = (ac + 5bd) + (ad + bc)_{ }.
«Qismiy algebraik operatsiya» tushunchasini kiritamiz.
2-ta’rif. Agar dekart ko`paytmaning qism to’plamini X to’plamga akslantirishi berilgan bo`lsa, bu akslantirishga to’plamda qismiy algebraik amal deyiladi.
, , ya’ni .
elementga mos keluvchi juftlar to’plami qismiy algebraik amalning aniqlanish sohasi deyiladi.
Demak, natural sonlar to’plamida ayirish va bo`lish, butun sonlar to’plamida darajaga ko`tarish qisman algebraik operatsiya hisoblanadi. Qisman algebraik operatsiya bo`sh ham bo`lishi mumkin, ya’ni juftlikka bitta ham element mos kelmasligi mumkin.
Biror to’plamda algebraik amal berilgan bo`lsin va to’plam ning qism to’plami bo`lsin. qism to’plamga tegishli elementlardan tuzilgan juftlikni qaraylik . juftlikka to’plamidan element mos kelsin. Umuman olganda, bu element to’plamga tegishli bo`lishi ham tegishli bo`lmasligi ham mumkin. Agar juftlikka mos keluvchi element ham ga tegishli bo`lsa, qism to’plam berilgan algebraik amalga nisbatan yopiq deyiladi.
Natural sonlar to’plamining qismi bo`lgan juft sonlar to’plami qo`shish va ko`paytirish amaliga nisbatan yopiq to’plamdir.
Agar qism to’plam birorta algebraik amalga nisbatan yopiq bo`lsa, faqat shu qism to’plamdagina amalni ko`rish bilan, to’plamda bu amal algebraik amal bo`ladi.
Yuqorida ko`rgan algebraik amallarning har biri alohida simvol bilan, masalan, qo`shish amali «+», ayirish amali «-», bo`lish amali « », ko`paytirish amali «∙» , to’plamlarning birlashmasi « » , to’plamlarning kesishmasi « » va shu kabi belgilanadi va ikkita komponenti orasiga qo`yiladi: Bundan tashqari ikkita ob’yekt orasidagi munosabatlarni izohlovchi simvollar ham mavjud: - ikki va to`g`ri chiziqlarning ‘arallelligini, - ikki va to`g`ri chiziqlarning perpendikulyarligini va hokazolarni ifoda qiladi.
Ikki ob’yekt orasidagi munosabatlarni izohlovchi simvollar bilan bog`lanish natijasida uchinchi element haqida so`z yuritilmaydi, algebraik amal bilan bog`langan ikkita elementdan amal natijasi sifatida uchinchi bir element hosil bo`ladi. Algebraik amallar umumiy xossalarini o`rganamiz.
Algebraik va qismiy algebraik operatsiyalarni quyidagi shartli belgilar bilan belgilaymiz. Boshqacha aytganda ikkita va kom’onentalarga uchinchi kom’onentani mos qo`yish, bir algebraik operatsiya uchun , ikkinchi algebraik operatsiya uchun ko`rinishda bo`ladi va hokazo.