Algebraik To‘ldiruvchilar va Minorlar Laplas Toeremasi

=
2 - teorema (Laplas teoremasi). A kvadrat matritsada

satrlar (ustunlar) tanlangan bulsin. Agar satrlari (ustunlari) shu tanlangan satrlarda (ustunlarda) joylashgan mumkin bo’lgan k- tartibli minorlarni ularning algebraik tuldiruvchilariga ko’paytirib, bu ko’paytmalar barchasining yig’indisi

olinsa, A matritsaning determinanti xosil buladi.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun ushbu

tenglikni isbotlashimiz kerak.
Xar qanday uchun

bu yerda — ortlar. Bunga asosan

Bundan determinantning ko’pchiziqlilik xossasiga asosan

bu yerda yig’indi koordinatalari tengsizliklarni qanoatlantiruvchi barcha vektorlar bo’yicha olinadi. Agar vektorning qandaydir ikkita koordinatasi teng bulsa, u xolda determinantda ikkita bir xil satr mavjud bo’ladi, va demak, u nolga teng buladi. Bunga ko’ra vektorning barcha koordinatalarini turli deb xisoblash mumkin. Demak (1) yig’indi to’plamning barcha o’lchamli o’rinlashtirishlari bo’yicha olingan deyish mumkin. Bunga asosan (1) yig’indini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:




20-§ dagi 4-teoremaga ko’ra uchun

Bunga va 1-teoremaga asosan