Algebraik To‘ldiruvchilar va Minorlar Laplas Toeremasi

va xar qanday uchun



tengliklar o’rinli.

Natija . Agar A matritsa biror satr (ustun) elementlarini

boshqa satr (ustun) elementlarining mos algebraik

to’ldiruvchilariga ko’paytirib, yig’sak nol xosil bo’ladi, yani

agar i S bo’lsa, u xolda



va agar j q bulsa, u uolda


Isbot . Agar iS bulsa, u xolda, chunki unda ikkita bir xil satrlar bor (i-satr va S-satr). Bu determinantning S-satriga 3-teoremani tatbiq qilsak


Ustunlar uchun isbot shunga o’xshash.

3-teoremani quyidagi Vandermond determinantini

Xisoblashga tatbiq qilamiz:
=
Bu yerda ketma-ket quyidagi amallarni bajaramiz:

satrni ga ko’paytirib, n-satrdan ayiramiz, satrni

ga ko’paytirib, satrdan ayiramiz va xokazo. Oxirida birinchi satrniga ko’paytirib, ikkinchi satrdan ayiramiz. Natijada quyidagi determinantga kelamiz:

=
Buni 3-teoremaga asosan birinchi ustun buyicha yoyib, quyidagi ifodani olamiz:

=
Bundan determinantning ustunlariga nisbatan chiziqli ekanligidan foydalanib

tenglikni olamiz. Yuqoridagi muloxzani ()

determinantga va xokazo ketma-ket tatbiq qilib, quyidagi

ifodaga kelamiz:

=

= =


chunki
= =
bu yerda funksiya 19-§ da kiritilgan Vandermond ko’paytmasidir. Shunday qilib, o’zgaruvchilarning Vandermond determinanta bu o‘zg’aruvchilarning Vandermond ko’paytmasiga teng. Bundan, xususan, quyidagi natija kelib chiqadi: o’zgaruvchilarning Vandermond determinanti noldan farqli bo’lishi uchun sonlarning turli bo’lishi zaruriy va kifoyaviy shartdir.