Algebraik To‘ldiruvchilar va Minorlar Laplas Toeremasi

1 -teorema . Ushbu



Tenglik o’rinli, bu yerda ortlar.

Isbot . Dastlab bo’lgan xususiy xolni

kuramiz (bunday minor burchak minor deyiladi). U xolda
=

chunki xamda va 1≤j≤k bo’lsa, . Bundan =

chunki


o’rniga qo’yishdagi inversiyalar soni

o’rniga qo’yishdagi inversiyalar soniga teng. Ko’rilayotgan

xususiy xolda

juft son bo’lgani uchun

= =

Umumiy xol kurilgan xususiy xolga

Quyidagicha keltiriladi. Ushbu

determinant satrlari ustida ketma-ket transpozitsiyalar bajarib, raqamli satrni birinchi uringa, raqamlisatrni ikkinchi o’ringa va xokazo raqamli satrni k-o’ringa o’tkazamiz. Buni bajarish uchun ta transpozitsiya ishlatiladi. Shuni aytish kerakki, bu transpozitsiyalar natijasida qolgan ta satrlarning bir-biriga nisbatan joylashishi o’zgarmaydi.

Xosil bulgan determinantda ustunlari ustida ketma-ket transpozitsiyalar bajarib, raqamli ustunni birinchi uringa, raqamli ustunni ikkinchi uringa va xokazo raqamli ustunni k-o’ringa o’tkazamiz. Bunda ta transpozitsiya bajariladi. Ustunlar ustidagi bu transpozitsiyalar natijasida qolgan ta ustunlarning bir-biriga nisbatan joylashishi o’zgarmaydi. Satrlar va ustunlar ustidagi yuqorida bajarilgan transpozitsiyalar natijasida shunday determinantga kelamizki, k = tartibli burchak minori ushbu


minor bo’lib, unga to’ldiruvchi minor esa ga teng, chunki

qolgan satr va ustunlarning bir-biriga nisbatan joylashishi o’zgarmadi.

Xususiy xolda isbotlanganga ko’ra. Ikkinchi tomondan

19-§ dagi 2-teorema va 20-§ dagi 4-teoremalarga asosan

=.

.