Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy echish usullari

Teorema. x=j (x) tenglamaning ildizi [a, b] kesmada ajratilgan bo`lib, bu kesmada quyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   j (x) funktsiya [a, b] da aniqlangan va differentsiallanuvchi;
   
2. 
   barcha xÎ[a;b] uchun j(x) Î[a;b];
   
3. 
   barcha xÎ[a;b] da |j¢(x)| £ M < 1 bo`lsa, u xolda (2.23) jarayon yaqinlashuvchi bo`ladi
   

Bu erda shuni ta`kidlash lozimki, teoremaning shartlari faqat etarli bo`lib, zaruriy emasdir, ya`ni (2.23) jarayon bu shartlar bajarilmaganda ham yaqinla­shuvchi bo`lishi mumkin. (2.23) ni hisoblaganimizda, hisoblashni avvaldan berilgan aniqlik uchun quyidagi tengsizlik bajarilgunga qadar davom ettiramiz:
|x_n-x_n-1| £ e (n=1,2,3,4, … )
Misol. 4x-5lnx =5 tenglama e =0,0001 aniqlikda ketma-ket yaqinlashish usuli bilan echilsin.
Echish. Tenglamani ko`rinishda yozamiz va y<sub>1</sub>= lnx; chiziqlar kesishgan nuqtani aniqlaymiz. Bular x<sub>0</sub> = 2,28; x<sub>0</sub> = 0,57. Bularni boshlangich yaqinlashish nuqtalari deb olamiz. Berilgan tenglamani x=1,25(1+lnx) ko`rinishda yozsak, j(x)=1,25(1+lnx) bo`ladi, bundan, . Bu xolda x<sub>0</sub> =2,28 uchun ketma-ket yaqinlashish jarayoni yaqinlashuvchi bo`ladi:

Hisoblash natijalari quyidagi 2.2- jadvalda keltirilgan:
2.2-jadval

(1)	(2)	(3)
x	ln(1) +1	1,25(2)
2,28	1,82418	2,28022
2.28022	1.82427	2,28034
2,28034	1,82432	2,28040
2,28040	1,82435	2.28044
2,28044	1,82437	2,28046

Boshlangich yaqinlashish x₀ =0,57 atrofida jarayon yaqinlashuvchi bo`lmaydi, chunki

Bu xolda berilgan tenglamani x = e ^{0,8 x-1} ko`rinishda yozib, hisoblashni davom ettirish kerak.
Xulosa
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun bir qancha usullar mavjud, jumladan:
1. Gaussni yo'q qilish, Xoleskiy parchalanishi kabi to'g'ridan-to'g'ri usullar keng qo'llaniladi. Bu usullar tezdir va ular tenglamalar sistemasiga aniq yechim beradi.
2. Gauss eliminatsiyasi chiziqli tenglamalar tizimini yechishning samarali usuli hisoblanadi. U bir qator elementar qator operatsiyalari orqali tizimni diagonal matritsaga qisqartirish orqali davom etadi. Ushbu usul ko'proq noma'lum va tenglamali tizimlarni echish uchun kengaytirilishi mumkin.
3. Paskal usuli, Gauss-Jordan usuli sifatida ham tanilgan, chiziqli tenglamalar tizimini yechishda qo'llaniladigan yana bir to'g'ridan-to'g'ri usuldir. Bu usulda tenglamalar sistemasini diagonal matritsaga keltirish orniga, kichraytirilgan qator-eshelon korinishga keltiriladi. Keyin tenglamalar tizimining yagona yechimini osongina olish mumkin.
4. Supurish usuli va Yakobi iterativ usuli iterativ usullarga misoldir. Bu usullar bir necha takrorlashda aniq yechimga yaqinlashadigan taxminiy echimlarni beradi. Agar takrorlash to'g'ri sozlanmagan bo'lsa, ajralish paydo bo'lishi mumkin.
5.Yana bir iterativ usul Gauss-Zeydel iterativ usuli bo'lib, u Yakobiga o'xshaydi, lekin har bir iteratsiyada avval yangilangan elementlarni hisobga oladi. Bu usul odatda tezroq birlashadi.
Xulosa qilib aytish mumkinki, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish usulini tanlash tizimning o‘lchami, siyrakligi va jalb qilingan matritsalarning xossalari kabi xususiyatlariga bog‘liq. To'liq matritsali kichik tizimlar uchun to'g'ridan-to'g'ri usullar samaraliroq bo'lsa, siyrak matritsali katta tizimlar uchun iterativ usullar mos keladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini hisoblashning bir qancha yechimlari mavjud. Ular orasida yuqorida ko'rsatilgan bir nechta usullar bilan yechish mumkin.Boshlang'ich yechish usuli "tuzatish usuli"dir. Bu usul sistemadagi bitta o'zgaruvchini birinchi tenglama orqali topish bilan boshlanadi. Sistemadagi qolgan barcha tenglamalar uchun yechimlar ushbu o'zgaruvchiga nisbatan aniqlanadi.Boshqa yechish usullari - Yakubiy metod, Gauss metod, Jordan-Gauss metodlari kabi boshqa yechim usullariga misol qilish mumkin.Sistemalarni yechish uchun birinchi shart - bu sistemalar lineyani bo'lishi kerak. Bularning maqsadi tenglamalar tizimi bo'lishi va ularning yechimlari bir-biriga mos kelishi. Boshqa shartlar esa sistemalar yechimi haqidagi ma'lumotlarga asoslangan holda qo'llanadi.Agar sistemadagi tenglamalar ko'pgina sonlari olsay, uni yechish uchun matrixlar va determinantlar bilan yechish, tezroq va amalga oshirishi mumkin, chunki matrixning determinantiga ko'ra bo'lishning yechimlari sifatida yechiladi.Shuningdek, ko'pgina tenglamalar tizimini aytib o'tkirolsa, uning yechish usullari bir qancha sonli tizimlarga asoslangan holda faqat mavjud. Bu tizimlarda hech qanday o'zgaruvchisiz qimmatlarni topish va yechish imkoni yo'q.Barcha yechish usullari sistemalarni yechishda vazifaga afzal, shunchaki sistemalarning yechimi dastlabki ko'rsatilgan shartlarga asoslangan holda aniqlansin yoki yo'qqa tekshirilsin.

Foydalanilgan adabiyotlar (internet manzillari)

1.http://moodle32.lms.tpu.ru
2.https://gptgo.ai