Алгоритмы

Будем искать приближенное значение корня  Š с точностью ε. Это значит, 
что приближенное значение Š  должно отличаться от точного значения S на величину 
не большую, чем ε, т.e 
| Š - S | < ε 
Так как S=
x
, то S
2
= 
𝑥
по определению корня, известному из математики. 
Предположим, что каким-то образом удалось найти приближенное значение корня Š, 
тогда,
 если Š < S, то Š*S < S
2
= 
𝑥
, => S < 
𝑥
/Š , а значит, Š < S < 
𝑥
/Š 
 если Š > S, то Š*S > S
2
 =
𝑥
, => S > 
𝑥
/Š, а значит,  
𝑥
/Š < S < Š. 
В обоих случаях точное значение корня S  находится между значениями Š и
𝑥
/Š, а тогда среднее арифметическое этих чисел 

---

Алгоритмы 
Т. Н. Горностаева 
http://izd-mn.com/
47 
2
1
(Š +
𝑥
/Š) (1) 
будет для корня S приближенным значением более точным, чем значение Š. 
Эта идея лежит в основе метода последовательных приближений значений для 
вычисления квадратного корня, известного еще Герону. 
Итак, пусть S
0
– начальное приближенное значение корня S. Следующее 
приближение S
1 
найдем по формуле (1): 
S
1
=
2
1
(S
0
+
0
S
x
) (2) 
По этой же формуле (1) найдем следующие приближения корня S
2
; S
3
; S
4
;….
S
2
=
2
1
(S
1
+
1
S
x
) (3)
S
3
=
2
1
(S
2
+
2
S
x
) (4) 
……………………………. 
S
k
=
2
1
(S
k-1
+
1

k
S
x
)
……………………………. 
Последовательность S
0
; S
1
; S
2
;…; S
k 
– это итерационная последовательность 
приближенных значений квадратного корня из числа 
𝑥
. В математике доказано, что 
такая последовательность сходится к точному значению квадратного корня S, 
независимо от начального приближения S
0
. 
Из сказанного выше следует, что если требуется вычислить приближенное  
значение квадратного корня с заданной точностью ε (предполагается, что точное 
значение вычислить невозможно), то нужно использовать следующий алгоритм: 
1. В качестве нулевого приближения S
0
взять любое число. 
2. Вычислить по формуле (2) приближенное значение S
1
. 
3. Проверить истинность равенства | S
1 
- S
0
| > ε. Если оно истинно, перейти к 
шагу 4, иначе к шагу 5. 
4. S
0 
:= S
1
, перейти к шагу 2. 
5. S :=S
1
, то есть, искомому значению корня присвоить значение S
1
; 
6. Записать значение S. 
Выполним этот словесный алгоритм для вычисления 
2
с точностью ε = 0,0015, 
то есть, найдем приближенное значение корня из 2, которое отличается от точного по 
модулю не более, чем на 0,0015. 
1. Присвоим S
0
значение 1, т.е. S
0
=1. 
2. S
1 
= 
2
3
1
2
1
2
1








= 1,5. 

---