Algoritmlarni baholash. (Big-O)

Urinmalar (Nyuton) usuli
Bu usul qo’llanilganda tenglamaning ajralgan [a,b] ildiziga boshlang’ich yaqinlashish x₀ tanlab olinadi va ketma-ket yaqinlashishlar

formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n yaqinlashishlar tartib soni, x_n – ildizga n – yaqinlashish.
Boshlang’ich, ya’ni nolinchi yaqinlashish f(a) f^’"(a)>0 shartni bajaradigan qilib olinadi. Agar shart bajarilsa x₀=a, aksincha x₀=b qilib olinadi.
Urinmalar usuli bilan tenglama ildizlarini aniqlash ikki bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda x₀ tanlab olinadi. Buning uchun f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi topiladi va uning x=a nuqtadagi qiymati hisoblanadi hamda yuqoridagi shartga asosan x₀ tanlab olinadi.
Ikkinchi bosqichda f(x), f^(x) qiymatlarini hisoblash uchun funksiyalar tuziladi, x₀,  qiymatlari EHMga kiritiladi va dastur yordamida hisoblashlar bajariladi.


4-mavzu. Chiziqli dasturlash masalalarining matematik modellari, iqtisodiy tahlili. Maqsad funksiyasi. Egizak masala.

Reja

• 
  Chiziqli dasturlash masalasining qo’yilishi.
  
• 
  Maqsad funksiyasini tuzish
  

• 
  Faraz qilaylik, korxonada m xil mahsulot ishlab chiqarilsin: ulardan ixtiyoriy birini i(i=1,..., m) bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun n xil ishlab chiqarish faktorlari zarur bo’lsin. Ulardan ixtiyoriy birini j (j=1,..., n) bilan belgilaymiz.
  
• 
  Har bir ishlab chiqarish faktorining zahirasi va ularning bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan me’yori quyidagi jadvalda berilgan:
  

• 
  Jadvaldagi har bir b_j - j - ishlab chiqarish faktorining zahirasini; a_ij - i - mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan j - faktorning me’yori; s_i - korxonaning i - mahsulot birligini realizatsiya qilishdan oladigan daromadini bildiradi.
  
• 
  Masalaning iqtisodiy ma’nosi: korxonaning ishlab chiqarish rejasini shunday tuzish kerakki: a) hamma mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan har bir ishlab chiqarish faktorining miqdori ularning zahirasidan oshmasin; b) mahsulotlarni realizatsiya qilishidan korxonananing oladigan daromadi maksimal bo’lsin.
  

Rejalashtirilgan davr ichida ishlab chiqariladigan i- mahsulotining miqdorini x_i
- bilan belgilaymiz. U holda masaladagi a) shart quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi:

Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko’ra hamma noma’lumlar manfiy bo’lmasligi kerak, ya’ni:


x_i  0 (i=1, 2, ..., m)

• 
  Masaladagi b) shart uning maqsadini aniqlaydi. Demak masalaning maqsadi mahsulotlarni realizatsiya qilishdan korxonaning oladigan umumiy daromadini maksimallashtirishdan iborat va uni
  
• 
  
• 
  Y = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_mx_m -> max,
  

• 
  ko’rinishdi ifodalash mumkin. Y = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_mx_m -> max,
  

ko’rinishdi ifodalash mumkin.

Chiziqli dasturlash masalasi

• 
  Fabrika ikki xil M₁ va M₂ tikuv mahsuloti ishlab chiqaradi. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarishda uch xil N₁,N₂,N₃ turdagi materiallarni ishlatadi. N₁-materialdan 15 m., N₂-materialdan 16 m., N₃-materialdan 18 m. mavjud. 
  M₁- mahsulotni ishlab chiqarish uchun N₁-dan 2m., N₂-dan 1m., N₃-dan 3m. ishlatadi.
  M₂- mahsulotni ishlab chiqarish uchun N₁-dan 3m., N₂-dan 4m., N₃-dan 0m. ishlatadi.
  M₁- mahsulotning bir birligidan keladigan foyda 10 so‘mni, M₂ - mahsulotdan keladigan foyda 5 so‘mni tashkil qiladi.
  Ishlab chiqarishning shunday planini tuzish kerakki fabrika maksimal foyda olsin. Masalaning matematik modelini tuzamiz:
  
• 
  Bu yerda M₁ mahsulotni x₁ va M₂ mahsulotni x₂ o’zgaruvchi bilan almashtirib olamiz.
  

• 
  Bu yerda Z=10x₁+5x₂ -> max maqsad funksiyasi bo’lib, x₁ va x₂ larning shatrlarni bajarilgan qiymatlarida Z ning maksimumga erishishini ta’minlash masalasi qaraladi.
  
• 
  Misol .
  
• 
  Z = 2x + 3y maqsad funksiyasining maksimum qiymatini toping.
  
• 
  Chegaraviy shartlar quyidagicha berilgan:
  
• 
  x + y 30, y 3, 0 y 12, x - y 0, va 0 x 20.
  
• 
  
• 
  Yechish
  
• 
  Birinchi navbatda koordinatalar sistemasida x 0, y 0 ekanligini belgilab olamiz.
  
• 
  Koordinatalar sistemasida x + y 30, y 3, y 12, x y va x 20, chegaralarni belgilab, ABCDE shaklni aniqlaymiz.
  
• 
  Shakl uchlaridagi nuqtalar A(3, 3), B (20, 3), C(20, 10), D(18, 12) va E(12, 12) bo’ladi.
  
• 
  Shakl uchlaridagi Z ning qiymatlari Z(A) = 15, Z(B) = 49, Z(C)= 70, Z(D)=72, va Z(E) = 60
  
• 
  D nuqtada Z maksimum qiymatga erishadi. Z(D)=72. Bu nuqtada x va y ning qiymatlari x = 18, y = 12 ga teng.