Algoritmlarni baholash. (Big-O)

Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi

Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi) taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo’yicha tashkil qilamiz:

• 
  1. Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
  
• 
  2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a) f(c)<0 shartidan foydalanib aniqlaymiz.
  
• 
  3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni yana teng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
  

Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda tenglamaning taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz

2. 
   Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
   

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.

2-teorema. Aytaylik,
1) (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;
2) (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda  (x)q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= (x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim
t_n= (t_n-1).
formulalar bilan aniqlanadi

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.

Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.

Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a)^.f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3)Tenglamani ko‘rinishga keltirib, (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da mavjudligini tekshiramiz va ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa, ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1 < shart bajarilguncha davom ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.

Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10^-4 aniqlikda toping.

Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.

1. 
   bunda
   
2. 
   bunda,
   
3. 
   bunda, =
   

funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun,

shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x₀ nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x₀=0.5;



Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz
– uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
– yaqinlashuvchi iteratsion jarayon

Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat funksiya yaqinlashuvchi ekan.

= ni hisoblaymiz va shartni tekshiramiz. .
=
Bu jarayonni shart bajarilguncha davom ettiramiz.

2.